Convergencia uniforme de la secuencia de polinomios complejos

Question

Demuestre que no existe ninguna secuencia de polinomios complejos que converja a $\frac{1}{z^2}$ uniformemente en el anillo $A=\{z\in\mathbb{C}:1<|z|<2\}$ .

No sé ni cómo pensar en este problema. ¿Puede alguien darme una pista o una manera?

Answer 1

Este es un enfoque:

Tenga en cuenta que si $\gamma$ es el círculo de radio ${3 \over 2}$ (por lo que se encuentra en $A$ ) entonces $\int_\gamma {1 \over z} dz = 2 \pi i$ y como $\int_\gamma p(z) dz = 0$ para todos los polinomios, vemos que ninguna secuencia de polinomios puede ser uniformemente convergente a $z \mapsto {1\over z}$ en $A$ .

Dejemos que $f(z) = {1 \over z^2}$ y supongamos $p_n$ es una secuencia de polinomios uniformemente convergentes a $f$ en $A$ . Entonces la secuencia $z \mapsto z p_n(z)$ converge uniformemente a $z \mapsto {1\over z}$ en $A$ que es una contradicción.

Answer 2

Dejemos que $(p_n) \subseteq \mathbb{C}[X]$ tal que $p_n \to f$ en $A$ con $f(z) = \frac{1}{z^2}$ . Ahora bien, esto implica $q_n := z^2p_n \to 1$ en $A$ . Por el principio del módulo máximo,

$$ \sup_{D(0,2)}|1 - q_n(z)| = \sup_{\partial D(0,2)}|1 - q_n(z)| \leq \sup_{A}|1 - q_n(z)| \to 0 $$

por lo que tenemos que $q_n \to 1$ en $D(0,2).$ Sin embargo, esto implicaría

$$ 1 = \lim_{n \to \infty}q_n(0) = 0 $$

lo cual es absurdo. Tenga en cuenta que lo único que hemos utilizado sobre $(p_n)_{n \geq 1}$ es que podemos aplicar el principio del módulo máximo a $1 - q_n$ para cada $n \in \mathbb{N}$ por lo que el resultado se extiende a cualquier secuencia de funciones holomorfas.