Núcleo de operadores nilpotentes en espacios dimensionales infinitos del vector

Question

Supongamos que $T$ es una transformaciones lineales nilpotentes en un espacio dimensional infinito del vector. Por nilpotentes entiendo que $T^k=0$ $k$. ¿Sigue que el núcleo de $T$ debe ser infinito dimensional?

Answer 1

Sí. Observar que para cada $k$ allí es una secuencia exacta corta $$0\to \ker(T^k)\to \ker(T^{k+1})\stackrel{T^k}\to T^k(\ker(T^{k+1}))\to 0$$ and that $T^k(\ker(T^{k+1})) \subseteq \ker (T)$. So $\dim \ker(T^{k+1})\leq \dim \ker(T^k) + \dim \ker (T)$, and by induction on $k$ we see $\dim \ker(T^k)\leq k\dim\ker (T)$ for all $k$. In particular, if $\ker (T)$ is finite dimensional, then $\ker(T^k)$ is finite-dimensional for all $k$. But $T ^ k = 0$ for some $k$, así que este imposible.