Observación. Me gustaría evitar el "anillo de expresiones formales" punto de vista para esta pregunta. Sé que podemos evitar estos tipos de preguntas por trabajo "puramente algebraica" y, en particular, tomando el algebraicas cierre de $K(x).$ Pero no quiero hacer esto aquí.
Si entiendo que la wikipedia el artículo correctamente, en función de la $f$ es algebraico si existe un polinomio $P(x,y)$ tales que la ecuación de $P(x,f(x)) = 0$ es cierto para todos los $x$ en el dominio de $f$. Por ejemplo, la función $$[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt{x}$$ is algebraic because $y^2-x$ tiene esta propiedad.
No obstante que el artículo es bastante vaga y no estoy seguro de entender lo que se dice. En particular, cuál de las siguientes funciones serían considerados algebraicas?
- $(0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt{x}$
- $(0,1) \cup (2,3) \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt{x}$
- $(0,1) \cup (2,3) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases}\sqrt{x} & x \in (0,1), \\ -\sqrt{x} & x \in (2,3)\end{cases}$
- $(0,e) \rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \sqrt{x}$
- $[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases}\sqrt{x} & x \in \mathbb{Q}, \\ -\sqrt{x} & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$
Estos pertenecen a diferentes cuestiones, a saber:
- Hace una función tiene que ser definido en el mayor dominio posible de ser considerados algebraicas?
- ¿Tiene que ser definida en un conjunto conectado?
- Si se define en un desconectado conjunto, qué se requiere que sea extensible a una expresión algebraica de la función definida en un conjunto conectado?
- Puede que no algebraicas de los números reales se utiliza para definir el dominio de un "algebraica" de la función?
- ¿Tienen que ser continua?
Pregunta: ¿cuáles son las normas de aquí?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la página de wikipedia está escrita para (y por) los no expertos. De hecho, esa definición es la que se puede encontrar con frecuencia. (En la escuela primaria libros de texto de matemáticas; y on-line. Pero no en técnicas matemáticas papeles.) La situación es similar a la definición de "continuo" en la escuela primaria cursos de análisis matemático.
Los estudiantes el aprendizaje de las matemáticas, aún no lo suficientemente sofisticados como para comprender las definiciones utilizadas en más de estudios avanzados, se les tiene que dar una definición sencilla de usar.
Cuando los matemáticos usan el término "algebraica de la función" en realidad, pueden tener en la mente una situación específica. Y la definición puede variar en función de acuerdo a la situación.
Un ejemplo puede verse como este...
Deje $f$ ser un holomorphic función definida en la conexión de un conjunto abierto $U$ en el plano complejo. Decimos que $f$ es una expresión algebraica de la función fib existe un polinomio $P(x,y)$ de dos variables con coeficientes complejos tales que $P(z,f(z))=0$ todos los $z \in U$.
Puede haber otras definiciones utilizadas en otros contextos.
los ejemplos en el OP
Si usted toma la definición simplista de la página de la Wikipedia, a continuación, todos los 5 de sus ejemplos son funciones algebraicas. Algunos de ellos (especialmente 5) muestran que la definición de Wikipedia no es muy útil. Y cualquier instructor en un curso elemental que pide a preguntas tales como de 1 a 5 ha perdido el punto: esta es una "idea general" de la definición y no una definición técnica.
otra situación
Supongamos que tenemos la reclamación
La función de $\mathbb R \to \mathbb R$ definido por $x \mapsto \sin x$ no es una expresión algebraica de la función
Una prueba se puede ir así...
Un valor distinto de cero algebraica de la función en $\mathbb R$ puede tener sólo un número finito de ceros. Pero $\sin(\pi n) = 0$ todos los $n \in \mathbb Z$, por lo que esta función tiene un número infinito de ceros. Por lo tanto, no es algebraico.
Esta es una buena prueba. Pero no con la simplista definición de "algebraica de la función". Por ejemplo, la función $$ \phi(x) = \begin{cases}1, \quad x \text{ rational} \\ 0, \quad x \text{ irrational} \end{casos} $$ tiene una infinidad de ceros, y satisface $\phi(x)^2 - \phi(x) = 0$ todos los $x$.
