$a,b,c >0$ y $a+b+c=1$ demuestre $$2 \geqslant a^{k_ob^2}+b^{k_oc^2}+c^{k_oa^2}$$ donde $$k_o = 9 \left( \frac{\ln3-\ln2}{\ln3} \right) \approx 3.32163$$ No sé si esta desigualdad es cierta o no. Miles de cálculos en Excel aún no han dado ningún contraejemplo. He supuesto $c=\frac12$ y demostrar que la desigualdad es cierta. Pero no tengo ni idea de cómo resolver un caso general.
Te basas en la simetría, que puede inducir a error a menudo en este tipo de problemas. Todo lo que se está diciendo más arriba es que si el problema es cierto entonces el valor de $k$ es coherente para un caso, a saber $a=b=c=\frac13$ . Lejos de ser una prueba.
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Yo intentaría fijar $a,b>0, a<b, a<\frac 12, c=1-a-b$ para simplificar el problema.
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Posibilidad que requiere mucho trabajo, pero que probablemente funcionaría: ¿qué tal encontrar simplemente el mínimo de $f(a,b,c)$ con derivadas parciales?
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Probar esto es más difícil ya que no estás seguro de la desigualdad, $a+b+c=1$ , digamos $ c = 1-a-b$ $$2 \geqslant a^{k_ob^2}+b^{k_oc^2}+c^{k_oa^2}$$ donde $$k_o = 9 \left( \frac{\ln3-\ln2}{\ln3} \right) $$ $$ a^{k_ob^2}+b^{k_o(1-a-b)^2}+(1-a-b)^{k_oa^2} = 2 + \alpha$$ digamos $\alpha $ es alguna constante, que tenemos que encontrar.... así que elegiríamos valores para ella ahora trazar la función, digamos $a=x$ y $b=y$ para visualizar la desigualdad $$ x^{k_oy^2}+y^{k_o(1-x-y)^2}+(1-x-y)^{k_ox^2} \le 2 $$ $$ x^{k_oy^2}+y^{k_o(1-x-y)^2}+(1-x-y)^{k_ox^2} = 2 +\alpha $$