Derroteros y variantes de la q

Question

Todo el mundo sabe que hay $D_n=n! \left( 1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\cdots+(-1)^{n}\frac1{n!} \right)$ derangos de $\{1,2,\dots,n\}$ y que hay $D_n(q)=(n)_q! \left( 1-\frac{1}{(1)_q!}+\frac1{(2)_q!}-\frac1{(3)_q!}+\cdots+(-1)^{n}\frac1{(n)_q!} \right)$ elementos en $\mathrm{GL}(q,n)$ que no tienen $1$ como valor propio; aquí $q$ es una potencia principal, $(k)_q!=(1)_q(2)_q\cdots(k)_q$ son los $q$ -factoriales, y $(k)_q=1+q+q^2+\cdots+q^{k-1}$ son los $q$ -Números.

Ahora, hay $D_n^+=\tfrac12\bigl(|D_n|-(-1)^n(n-1)\bigr)$ y $D_n^-=\tfrac12\bigl(|D_n|+(-1)^n(n-1))\bigr)$ incluso y derangos Impares de $\{1,2,\dots,n\}$ como se puede ver, por ejemplo, calculando el determinante $\left| \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{array} \right|$ y mirando el resultado.

¿Cómo se debe definir $D_n^+(q)$ y $D_n^-(q)$ ?

Answer 1

¿Esto simplemente es una suposición sin base, pero tal vez $D_n^+(q)$ debe ser aquellos elementos cuyo determinante es un residuo cuadrático (tal vez Supongamos que p > 2 para la seguridad)? O se podría dividir en $q-1$ grupos, basados en el determinante.

Answer 2

Las dos sugerencias de Reid funcionan más o menos y conducen a la misma fórmula. Sin embargo, es más fácil cambiar primero la pregunta por una $q$ -análisis de la diferencia $$D^{\pm}_n = D^+_n - D^-_n = (-1)^n(n-1).$$ (Además, la fórmula de $D_n(q)$ falta un factor de $q^{n(n-1)/2}$ .) Puede encontrar $D^{\pm}_n$ por la fórmula de inclusión-exclusión al igual que se puede encontrar $D_n$ . De hecho, es incluso más fácil, ya que sólo sobreviven los dos últimos términos de la inclusión-exclusión. Esta prueba tiene un sencillo $q$ -generalización, aunque la fórmula final no es la misma. Pero no sé hasta qué punto esto último es probable en el $q$ -contexto de álgebra lineal. El determinante de una matriz parece la forma más razonable $q$ -análogo del signo de una permutación, aunque no es un análogo perfecto.

Dejemos que $\chi$ sea un carácter complejo del grupo multiplicativo de $\mathbb{F}_q$ . Sea $D^\chi(q)$ sea la correspondiente suma de $\chi(\det M)$ , sumado sobre las matrices alteradas $M$ . Entonces el $q$ -analógico es que $D^\chi(q) = (-1)^nq^{n(n-1)/2}$ para todo lo que no es constante $\chi$ . La prueba utiliza la función de Möbius del entramado de subespacios, igual que para la enumeración ordinaria de matrices alteradas. Esta vez sólo sobrevive el último término de la inversión de Möbius, el de la matriz identidad.