Mostrando que $P(x)$, donde $P(x) = P(x+2)-x^2-2$ % todo $x$, es un tercer grado polinómico

Question

Quiero mostrar que$P(x)$ es un polimromo de tercer grado:$P(x) = P(x+2) -x^2-2$ para cada real$x$

No es tan difícil, pero no veo la prueba de inmediato.

Answer 1

Para cualquier polinomio con grado $n$ y para cada constante $k\neq0$ $P(x+k)-P(x)$ es un polinomio cuyo grado es $n-1$; para entender por qué, sólo ampliar $P(x+k)$.

Puesto que, en su caso, $P(x+2)-P(x)$ tiene grado $2$, $P(x)$ es un polinomio cúbico.

Tenga en cuenta que esto supone que $P(x)$ es una función polinómica. De lo contrario, la afirmación es falsa. Un contraejemplo es la siguiente: $$P(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{4 x}{3}&\text{ if $x $ is algebraic}\[3mm]\displaystyle\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{4 x}{3}+1&\text{ otherwise.}\end{cases}$ $

Answer 2

Suponiendo que$P$ es$C^3$, tiene$P'''(x) = P'''(x+2)$ para todos$x$. Como$P'''$ es continuo, concluimos que es constante. Cuando nos integramos 3 veces, obtenemos un polinomio cúbico.

Answer 3

La declaración, como está escrito, es falso.

Tomar cualquier función en $[0,2]$$p(2)=p(0)+2$. La función lineal $p(x) = x$ entre 0 y 2 va a hacer. De nuevo, es lineal en este dominio. Ahora uso el de las relaciones de $p(x+2) = p(x)+x^2+2$ a determinar la función de $[2,4]$$[4,6]$, etc. y $p(x-2)=p(x)-x^2-2$ en $[-2,0]$, $[-4,-2]$, etc.

Por ejemplo, entre el $[2,4]$, $$p(x)=p(x-2)+x^2-4x+6=(x-2)+x^2-4x+6$$ Así que usted tiene una pieza de sabios función continua que satisface el criterio, pero es lineal en $[0,2]$ y de segundo grado en otros intervalos.

Obviamente, usted puede tomar cualquier desagradable de la función que usted desea en $[0,2]$ que satisface $p(2)=p(0)+2$, y obtener un no-polinomio solución de la recurrencia de la relación.

Ahora, si se supone que $p(x)$ es un polinomio, no creo que se puede hacer de ninguna otra manera más que la simple suposición $$p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0.$$ A continuación, utilice el teorema del binomio para expandir $p(x+2)$ luego restar $p(x)$ y el conjunto es igual a $x^2+2$. Usted recibirá $a_n =a_{n-1} =\cdots = a_4 = 0$ y $6a_3=1$, $12a_3+4a_2=0$ y $8a_3+4a_2+2a_1=2$ $a_0$ arbitrarias.

Respuesta Final: $p(x)=\frac16x^3-\frac12x^2+\frac{13}3x+C$

Answer 4

Let: $$ \begin{align}P(x+2)&=a_0(x+2)^n+a_1(x+2)^{n-1}+a_2(x+2)^{n-2}+\cdots+a_n\\ P(x)&=\color{red}{a_0}x^n+\color{blue}{a_1}x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n \\ x^2+2=P(x+2)-P(x)&=2na_0x^{n-1}+(2n(n-1)a_0+2(n-1)a_1)x^{n-2}+\cdots \Rightarrow \\ x^2&=2na_0x^{n-1} \Rightarrow \\ 2&=n-1 \quad \text{and} \quad 2na_0=1\Rightarrow \\ n&=3 \quad \text{and} \quad \color{red}{a_0}=\frac16. \end {align} $$ Así$n=3$. Puede continuar buscando el siguiente coeficiente:$$2n(n-1)a_0+2(n-1)a_1=0 \Rightarrow \color{blue}{a_1}=\frac{-2}{4}=-\frac12.$ $