¿Cuál es la relación entre los diferentes teoremas llamada Hilvers Nullstellensatz?

Question

Las siguientes declaraciones son todos llamados a la de Hilbert Nullstellensatz, pero que parecen ser completamente independientes uno del otro. ¿Cuál es la relación entre ellos exactamente?

1. (Teorema 1.3 a, en la página 4 de Hartshorne de la Geometría Algebraica) Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, $a$ un ideal en $A = k[x_1, ... x_n]$, e $f \in A$ ser un polinomio que se desvanece en todos los puntos de $Z(a)$, $f^r \in a$ para algunos entero $r > 0$

2. ("débil Nullstellensatz" que aparece en la Wikipedia) Un ideal de a $I \subseteq k[x_1, ... x_n]$ contienen 1 iff los polinomios en la $I$ no contienen ceros comunes en $k^n$

3. (Teorema 3.2.4, en la página 107 de Vakil notas) La única máxima ideales en el anillo de $k[x_1, ... x_n]$ son de la forma $(x_1 - a_1, ... x_n - a_n)$ $(a_1, ... a_n) \in k^n$

4. (Teorema 3.2.5 en la página 107 de Vakil notas) Si $k$ es cualquier campo, cada ideal maximal de a $k[x_1, ... x_n]$ ha residuo de campo de un número finito de extensión de $k$. Cualquier extensión de campo de $k$ que es finitely generado como un anillo es también finitely generado como un módulo

5. (Teorema de 3.7.1 en la página 128 de Vakil notas) Deje $A$ ser un anillo conmutativo con identidad, a continuación, $V(.)$ $I(.)$ dar una inclusión revertir bijection entre subconjuntos cerrados de $Spec(A)$ y radical de los ideales de la $A$

Answer 1

Número 4. a veces se llama Zariski del lexema. La relación con el Nullstellensatz es que si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el residuo de campo es un campo finito algebraicas extensión de $k$, el cual debe ser $k$ sí. De esto se deduce 3.; no es difícil ver que $k[x_1, \dots, x_n]/ \mathfrak{m} = k$ implica que el $\mathfrak{m}$ es de la forma $(x_1 -a_1, \dots, x_n - a_n)$. Por lo tanto, si $k$ está cerrada, $k[x_1, \dots, x_n]/\mathfrak{m}= k$ para cualquier ideal maximal (4), y por lo tanto todos los máximos ideales son de esta forma.

Artículo 2. es una inmediata corrollary. Usted sabe que $V(\cdot)$ $I(\cdot)$ son el fin de revertir, y cada ideal que está contenido en un ideal maximal. Claramente $V(\mathfrak{m})$ al $\mathfrak{m} = (x_1 -a_1, \dots, x_n - a_n)$ es máxima contiene un punto, y por lo $V(\mathfrak{A})$ para cualquier otro ideal contiene al menos un punto. Por lo tanto si $V(I)$ está vacía, entonces $I$ contiene $(1)$. A la inversa, es evidente. Artículos 2,3,4 son diversamente/colectivamente denominados el débil Nullstellensatz por diferentes autores.

La primera es probado en 2, 3, 4 por algebraicas engaño aquí y que se suele llamar el fuerte Nullstellensatz.

Por último 5 de la siguiente manera a partir de 1; 1 se establece el bijection entre radicales ideales y algebraicas de los conjuntos, y es, obviamente, el fin de revertir.