Grupo con subgrupos propios cíclicos infinitos

Question

Supongamos que $G$ es un grupo infinito tal que cualquier subgrupo no trivial de $G$ es infinitamente cíclico. Es $G$ y luego infinito cíclico?

Si sólo requiriéramos que los subgrupos adecuados fueran cíclicos, entonces los grupos de monstruos de Tarski darían algunos contraejemplos. ¿Hay ejemplos análogos de monstruos de Tarski en los que los subgrupos adecuados son infinitamente cíclicos?

Answer 1

Como @YCor ha indicado, hay monstruos Tarski sin torsión. Para una referencia, ver el Teorema 28.3 en el Capítulo 9, §28.1 del libro "Geometría de la Definición de las Relaciones en los Grupos" de Ol'shanskii.