$a,b,c,d$ son enteros positivos tales que$ad=bc$. Demuestre que$n=a+b+c+d$ no puede ser primordial

Question

La pregunta es a partir de la Ronda $1$ $1996/97$ Iraní Nacional de la Olimpiada Matemática. Mi intento de solución es la siguiente:

$a,b,c,d$ no pueden ser extraño, porque entonces su suma sería aún y por lo tanto no es primo. Así que, al menos uno de $a,b,c,d$ es incluso. Dado que el $ad=bc$, al menos dos de $a,b,c,d$ son incluso. Si sólo dos de $a,b,c,d$ son incluso, a continuación, $a+b+c+d$ es regular y no es primo. Por lo tanto, la única posibilidad es que tres de $a,b,c,d$ son incluso.

Sin pérdida de generalidad, vamos a $a,b,c$ ser incluso. El uso de $ad=bc$, podemos demostrar que (después de la cancelación de cualquier poderes superiores de $2$ que $a,b,c$ podría compartir), $a\equiv 0\pmod 4$, $b\equiv 2\pmod 4$ y $c\equiv 2\pmod 4$, básicamente $a$ tiene una potencia extra de $2$$b,c$.

Estoy atascado después de esto y no saben cómo proceder

Answer 1

No estoy seguro de cómo finalizar su solución, pero tengo otra si está interesado:

Supongamos$a+b+c+d=p\in \mathbb{P}$. Como$d=p-a-b-c$ obtenemos$$a(p-a-b-c)=bc$$ so $$ ap = (a+b)(a+c) \implies p\mid a+b \;\;\;\;{\rm or }\;\;\;\;p\mid a+c$ $

Una contradicción (ya que$p>a+b$ y$p>a+c$).

Answer 2

Como$d = bc/a$ es un número entero, podemos factorizar$d = (b/x)(c/y)$ para algunos enteros positivos$x,y$, de manera que$b/x$ y$c/y$ sean enteros y$xy=a$. (Esto es intuitivamente claro y se puede hacer riguroso jugando con factorizaciones primarias de$a,b,c$).

Entonces $$ a + b + c + d = xy + b + c + (b / x) (c / y) = (x + c / y) (y + b / x) $$ que siempre es una factorización no trivial , por lo que$a+b+c+d$ no puede ser primo.

Answer 3

Aquí hay una manera de hacerlo. Tal vez no el mejor.

Deje $w = \gcd(a,b)$, de modo que $a = a'w$$b=b'w$, por lo que tenemos

Deje $v = \gcd(c,d)$, de modo que $c =c'v$$d=d'v$, por lo que tenemos

$ad = bc$

$a'd'wv = b'c'wv$ $a'd' =b'c'$ . Así que tenemos $b'|a'd'$ pero como $a',b'$ son relativamente primos $b'|d'$. Y también tenemos a $d'|b'c'$ pero como $d',c'$ son relativamente primos tenemos $d'|b'$.

Por lo $b'|d'$ $b'|d'$ e (estos son valores positivos) lo $d' = b'$. Y así

$a'd' = d'c'$ $c'= a'$.

Y... que es lo que realmente es.

$a + b + c + d= a'w + b'w + c'v + d'v = a'w+ d'w + a'v + d'v= (a'+d')(v + w)$

Como hemos asumido $a,b,c,d> 0$$a',d',v,w \ge 1$$(a'+d'), (v+w)\ge 2$. Por lo tanto es un número compuesto.

Todas las respuestas son más o menos el mismo. Es sólo una cuestión de que la tachuela parece más claro y directo. El mío no es el más rápido pero se "cae" bastante bien.

También nos da una útil lema:

Si $ab = cd$$\frac a{\gcd(a,b)} = \frac c{\gcd(c,d)}$$\frac b{\gcd(a,b)} = \frac d{\gcd(c,d)}$ .

Answer 4

Permita que$e$ sea el factor común más alto de$a$ y$b$; $f=a/e$; $g=b/e$. Entonces$f$ y$g$ son coprime. Dejar $h=c/f$. Entonces $h=bc/efg=ad/efg=d/g$. $h$ es racional. Si algunos% prime $p$ divide el denominador de$h$, entonces$p\mid f$ y$p\mid g$. (Esto es porque$h$ y$ph$ tienen el mismo numerador, por lo tanto, haga$c/f$ y$pc/f$, entonces$p\mid f$; asimismo$g$.) Entonces$pe\mid a$ y$pe\mid b$, contradiciendo la definición de$e$. Por lo tanto,$h$ es un número entero. Entonces$$n=a+b+c+d=ef+eg+fh+gh=(e+h)(f+g).$$ As each of $ e, f, g, h \ geqslant 1$, the factors are non-trivial, so $ n $ es compuesto.

Answer 5

Si$ad=bc$, luego $$ \begin{align} an &=a(a+b+c+d)\\ &=(a+b)(a+c)\tag1 \end {align} $$ Usa la identidad de Bezout para escribir$(a,b)=ax_b+by_b$ y$(a,c)=ax_c+cy_c$. Entonces $$ \begin{align} \frac{(a,b)(a,c)}a &=ax_bx_c+cx_by_c+bx_cy_b+dy_by_c\\ &\in\mathbb{Z}\tag2 \end {align} $$ Así, $$ n = \ frac {(a, b) (a, c)} a \ overbrace {\ \ \ frac {a + b} {(a, b)} \ \} ^ {\ ge2} \ overbrace {\ \ \ frac {a + c \ vphantom {b}} {(a, c)} \ \} ^ {\ ge2} \ tag3 $$