¿Por qué es Axiom of Choice "un dispositivo conveniente y seguro para ahorrar trabajo"?

Question

En Terence Tao del Análisis, que los estados

El axioma es casi universalmente aceptado por los matemáticos. Una razón de esta confianza es un teorema debido a la gran lógico Kurt Gödel, que mostró que un resultado probado usando el axioma de elección nunca va a contradecir un resultado probado sin el axioma de elección. Más precisamente, Gödel demostró que el axioma de elección es indecidible; puede ser probada ni refutada a partir de los otros axiomas de la teoría de conjuntos, tan largo como los axiomas mismos son consistentes.

Luego, escribe

En la práctica, esto significa que cualquier "la vida real" aplicación de análisis (más precisamente, cualquier aplicación que involucran sólo a "decidable" preguntas) que puede ser estrictamente compatibles con el axioma de elección, también puede ser estrictamente compatible con sin el axioma de elección, aunque en muchos casos se necesitaría mucho más complicado y más largos argumento para hacerlo si no se les permite usar el axioma de elección. Así uno puede ver el axioma de elección como un conveniente y seguridad en el trabajo-dispositivos de ahorro en el análisis.

En ZF, si una proposición es "decidable", y si podemos demostrar la proposición en ZFC, entonces es cierto que en ZF. Yo lo entiendo. Si se demuestra que algo es cierto en ZFC, entonces es indecidible o verdadero en ZF. pero creo que la parte más difícil es demostrar una proposición es "decidable". ¿Cómo podemos hacer eso? Existe de todos modos para demostrar una proposición "decidable"? Así que creo que el axioma de elección no es seguro. No entiendo Tao palabras. Además, no entiendo por qué se afirma que "la vida real" de la aplicación es siempre "decidable".

Answer 1

Cuando se quiere demostrar que una particular y muy difícil de definir la secuencia converge, a veces es más fácil demostrar "Cada monótona secuencia con un límite superior es convergente."

Por supuesto, eso significa que usted necesita para comprobar que la sucesión es monótona y acotada desde arriba. Pero en general, el teorema es más simple.

Al avanzar en el análisis, se ejecuta en todo tipo de cosas que se han teorías generales. Medida, de categoría de Baire, a nombre de dos de los principales ejemplos.

Estas teorías son sensibles al axioma de elección o eliminado. Por ejemplo, podría ser que los números reales son un contable de la unión de conjuntos contables, que destruiría a toda la teoría de la medida. O podría ser que todos los conjuntos son Lebesgue medibles, o tiene la propiedad de Baire, que a su vez cambia la forma en que estas teorías se comportan.

Todas estas teorías, cuando se intenta aplicar a cosas que "viene de arriba", que se enteran de que puede ser demostrado por la mano en la costumbre de los casos. Se requiere, sin embargo, alboroto $\varepsilon$s y $\delta$s, o trabajar más y producir cálculos de las cosas, mientras que las teorías generales sólo garantizar que ciertas cosas existen.

Por esta razón, a veces es más fácil trabajar con la elección, cuando se quiere hablar de los teóricos. Esto es lo que Tao significa.

Pero el axioma de elección viene con un precio terrible de lo que te da todo tipo de extraños, como Vitali conjuntos, Bernstein conjuntos, y así sucesivamente. Por lo que algunas personas podrían argumentar que esto es una razón para rechazar la elección. Que es incompatible, o al menos incompatible con nuestra intuición. Gödel demostró, sin embargo, que si el resto de $\sf ZF$ es consistente, entonces $\sf ZFC$ es también coherente. Por lo que añadir el axioma de elección no va a causar contradicciones reales, sólo impar paradojas.

Esto significa que aceptaba o rechazaba el axioma de elección no es acerca de las consecuencias en la realidad, pero sobre la simplificación de las pruebas.

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Permítanme señalar que Gödel sólo demostró que el axioma de elección no puede ser refutada de $\sf ZF$. Fue Cohen, que más tarde se demostró que no puede ser probado.

Answer 2

Hay Shoenfield del teorema de completitud, que podría ser lo que Terence Tao se refiere. En un nivel más simple, observar lo siguiente:

Como de costumbre, aprovechamos la interpretación estándar de la aritmética frases en ZF (como frases acerca de $ω$). A continuación, para cada axioma $A$ de ZFC, tenemos que ZF se demuestra que el universo construible $L$ satisface $A$. Ahora tomar cualquier aritmética sentencia de $Q$ tal que ZFC demuestra $Q$. Entonces ZF se demuestra que $L$ satisface $Q$, y de ahí también que $Q$ es cierto (porque $ω$ es el mismo en $L$). Es por eso que podemos observar (en un adecuado metasystem MS) que cualquier prueba de aritmética sentencia de $Q$ dentro de ZFC puede ser transformada en una prueba de $Q$ dentro de ZF. Esta más débil de lo absoluto teorema se puede resumir como:

Si usted puede probar algunos de aritmética sentencia dentro de ZFC, usted puede demostrar que dentro de ZF solo.

Esto ya implica que cualquier teorema de ZFC acerca de los números naturales no depende del axioma de elección. Esto también podría ser lo que él entiende por "decidable" (y de todos modos lo hizo poner en asustar-comillas). Podemos indicar una precisa versión: Para cualquier sentencia cuyo valor de verdad puede ser decidido por un programa que utiliza algunos finito de Turing salto, si puede ser probada dentro de ZFC, entonces puede ser probada dentro de ZF.