Métricas de $\mathbb R^{\mathbb N}$.

Question

Estaba mostrando $D(x,y) = \sup_{k \in \mathbb N} \frac{d' (x_k,y_k)}{k}$ induce la topología producto en $\mathbb R^{\mathbb N}$. Aquí le damos la métrica estándar en $d(x,y)$$\mathbb R$ y $d'(x,y) = \min(d(x,y), 1)$.

Luego definí $D(x,y) = \sum_{k=1}^\infty \frac{d(x,y)}{(1 + d(x,y)) 2^k}$ y estaba tratando de mostrar que $D$ induce también la topología producto, pero soy incapaz de probarlo. ¿Cómo mostrar que $D$ induce la topología del producto? Gracias.

P.S.: me mostró la primera con %#% $ #%

está abierto en la topología producto. Y en la otra dirección con $$B_D (x, \frac{1}{n}) = B_d (x_1, \frac{1}{n}) \times B_d (x_2, \frac{2}{n}) \times B_d (x_3, \frac{3}{n}) \times \dots \times B_d (x_{n-1}, \frac{n-1}{n}) \times \mathbb R \times \mathbb R \times \dots$ y $U = O_1 \times \dots \times O_n \times \mathbb R \times \dots$ y $\epsilon = \min_{1 \le i \le n} (\frac{\epsilon_i}{i})$.

Answer 1

Este producto topología es secuencial, de modo que usted puede simplemente trabajar con secuencias. De hecho, $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ es una contables producto de la métrica de dónde primera contables espacios. De modo que el producto de la topología en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ es la primera contables. Por lo tanto, tenemos un secuencial de espacio. Es decir, la topología se caracteriza por la convergencia de las secuencias.

Recordemos que el producto de la topología es también conocida como la topología de pointwise convergencia. Una secuencia $x^{(n)}=(x_k^{(n)})$ converge a $x=(x_k)$ para el producto de la topología si y sólo si $x_k^{(n)}\longrightarrow x_k$ $(\mathbb{R},|\cdot|)$ por cada $k$. Por lo tanto:

Mostrando que el producto de la topología es igual a la topología inducida por $D$, es equivalente a probar: $$ D(x^{(n)},x)\rightarrow 0\quad\ffi\quad |x^{(n)}_k-x_k|\rightarrow 0 \quad\forall k. $$

Esto es si usted toma $D(x,y)=\sup_k \frac{\min \{1,d(x_k,y_k)\}}{k}$ o $D(x,y)=\sum_k\frac{d(x_k,y_k)}{(1+d(x_k,y_k))2^k}$. Tenga en cuenta que exactamente los mismos argumentos se aplican de manera más general a $X^\mathbb{N}$ para cualquier espacio métrico $(X,d)$. El primer $D$ es un poco más fácil. Voy a hacer el segundo. Si usted ya sabe que $d'$ es topológicamente equivalente a $d$, usted puede saltar en el último párrafo.

Supongo que usted ha comprobado que $$ D(x,y)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{d'(x_k,y_k)}{2^k}\qquad\mbox{donde }\;d'(s,t)=\frac{|s-t|}{1+|s-t|} $$ define una métrica en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Esto requiere esencialmente para comprobar que $d'$ es una métrica en $\mathbb{R}$.

Ahora observe que el $d'$ es topológicamente equivalente a la distancia estándar $|s-t|$. De hecho, si $|s_n-s|\longrightarrow 0$, entonces claramente $d'(s_n,s)\longrightarrow 0$. Por el contrario, asumir que $d'(s_n,s)\longrightarrow 0$. En primer lugar, tenga en cuenta que $|s_n-s|$ es limitada, de lo contrario, no existiría un susbequence tal que $|s_{n_k}-s|\longrightarrow +\infty$, de donde $d'(s_{n_k},s)\longrightarrow 1$. Segundo, vamos a $M$ ser un límite superior y observe $d'(s_n,s)\geq \frac{|s_n-s|}{1+M}$. Por lo $|s_n-s|\longrightarrow 0$.

Deje $x^{(n)}=(x_k^{(n)})$$x=(x_k)$$\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Tenemos que mostrar que $D(x^{(n)},x)\longrightarrow 0$ si y sólo si $x^{(n)}_k\longrightarrow x_k$ $\mathbb{R}$ por cada $k$ (con respecto a la habitual distancia en $\mathbb{R}$). En el anterior párrafo, la última es equivalente a la condición: $d'(x^{(n)}_k,x_k)\longrightarrow 0$ por cada $k$. Tan sólo tenemos que mostrar: $$ D(x^{(n)},x)\longrightarrow 0\qquad\ffi\qquad d'(x^{(n)}_k,x_k)\longrightarrow 0\quad\forall k. $$

Dirección: En primer lugar, corregir $k$ y observar que $d'(x^{(n)}_k,x_k)\leq 2^k D(x^{(n)},x)$ por cada $n$. Esta dirección se sigue inmediatamente.

Hacia atrás: La serie de la definición de $D(x,y)$ converge normalmente en $\mathbb{R}^\mathbb{N}\times \mathbb{R}^\mathbb{N}$$\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^k}<\infty$. Así podemos intercambiar suma y límites (dominado por la convergencia de la serie). En particular $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}D(x^{(n)},x)=\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^k}\lim_{n\rightarrow+\infty}d'(x^{(n)}_k,x_k)=0. $$