Área del polígono del disco hiperbólico

Question

Consideremos el disco hiperbólico. Yo utilizo un teselado uniforme {5,4}. Aquí 5 representa el pentágono, 4 el número de polígonos que comparten el mismo vértice.

{disco hiperbólico} Existe una fórmula que define el área del polígono hiperbólico convexo: $$A_{m} = \{ \pi (m-2) - (a(1)+...+a(m))\} \frac {1}{-K}$$ donde $a(i)$ es el ángulo interior. K es la curvatura gaussiana, que yo defino: $$K=- \frac {1}{l^2}$$

Si aplico esta fórmula para el polígono del pentágono obtengo que el área de cada polígono está dada por: $$A_{5} = \frac { \pi }{2} l^2$$

Así que se deduce que ese tipo de teselación uniforme junto con la curvatura gaussiana definen el área asociada al polígono. ¿Es correcto?

¿Es posible tener teselaciones con {5,n} donde n no es 4?

Answer 1

El cálculo se ve bien.

Y sí, hay un teselado de tipo $\{5,n\}$ para cada $n \ge 4$ .

Para ver por qué, necesitas el hecho de que si $ \alpha_0 $ es el ángulo interior de un pentágono euclidiano normal, entonces para cualquier $ \alpha < \alpha_0 $ se puede construir un pentágono hiperbólico regular $P$ teniendo ángulos interiores iguales a $ \alpha $ .

Uno entonces calcula $ \alpha_0 = \frac {3 \pi }{5}$ y si $n \ge 4$ entonces el ángulo interior deseado de $P$ es $$ \alpha = \frac {2 \pi }{n} \le \frac {2 \pi }{4} < \frac {3 \pi }{5} = \alpha_0 $$

Answer 2

Primero tengo que señalarle un concepto erróneo que tiene, y me temo que será confuso. (Yo sólo entiendo casi la mitad de esto)

El modelo de disco que utiliza es el modelo de disco Poincare (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model ) y tiene una distancia absoluta fija y una curvatura fija de -1 (esta curvatura está incorporada en el modelo)

Por supuesto que eres libre de usar otra escala de distancia con alguna fórmula $1a = i^2 c$ con $1a$ es decir, la longitud de un segmento de una distancia absoluta y $i^2 $ su medición de la distancia de la cual $c$ es una unidad de longitud.

Y esto resultará en un cambio de curvatura. (pero escucho diferentes opiniones sobre cuál es la curvatura entonces o incluso cuál es la unidad de curvatura. así que espero que alguien más te ayude aquí.

En medida absoluta, el pentágono que describes tiene un área fija de $$A_{5} = \{ 3 \pi - (5 \frac { \pi }{2}) \} = \frac {1}{2} \pi $$

Y usando las fórmulas de https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_triangle#Trigonometry puedes calcular las longitudes laterales

Hay un teselado hiperbólico {5,n} por cada $n > 3 $ ver por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Order-5_pentagonal_tiling y https://en.wikipedia.org/wiki/Order-6_pentagonal_tiling