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Question

Encontrar $\sum\limits_{k=1}^{12}\tan \frac{k\pi}{13}\cdot \tan \frac{3k\pi}{13}$.

Intenté algunas formas elementales mientras que todas fallaban.

Answer 1

Dejar $z:=e^{i\pi/13}$. Entonces y $\sin(k\pi/13)=(z^k-z^{-k})/2i$.

Obtenemos$\cos(k\pi/13)=(z^k+z^{-k})/2$ $

Expanda esto en la serie de Taylor (los coeficientes van a ser sumas de cuatro o más progresiones geométricas) y sume estas series para$$\tan(\frac{k\pi}{13})\cdot\tan(\frac{3k\pi}{13})=-\frac{z^k-z^{-k}}{z^k+z^{-k}}\cdot\frac{z^{3k}-z^{-3k}}{z^{3k}+z^{-3k}}=-\frac{1-z^{2k}}{1+z^{2k}}\cdot\frac{1-z^{6k}}{1+z^{6k}}$. Observe que de lo contrario$k=1,...,12$, para$1+z^k+z^{2k}+...+z^{12k}=0$ no es múltiplo de$k$ e igual a$13$. Esto es porque $0$.

Ahora la suma se convierte en la suma de cuatro o más series geométricas (series geométricas que sabemos cómo sumar).

Answer 2

A partir de la Suma de la tangente a una función donde los argumentos son específicos de series aritméticas y Demostrar la identidad trigonométrica $(35)$,

$$\tan13x=\frac{\binom{13}1t-\binom{13}3t^3+\binom{13}5t^5-\binom{13}7t^7+\binom{13}9t^9-\binom{13}{11}t^{11}+t^{13}}{\cdots}$$

donde $\displaystyle t=\tan x$

Ahora si $\displaystyle\tan13x=0,13x=n\pi$ donde $n$ es cualquier entero

$\displaystyle\implies x=\frac{n\pi}{13}$ donde $0\le n\le13-1$

Como $\displaystyle\tan0=0,\tan\frac{n\pi}{13},1\le n\le12$ son las raíces de

$\displaystyle\binom{13}1-\binom{13}3t^2+\binom{13}5t^4-\binom{13}7t^6+\binom{13}9t^8-\binom{13}{11}t^{10}+t^{12}=0\ \ \ \ (1)$

Como $\displaystyle\tan(r\pi-y)=-\tan y,$ para cualquier entero $r$

el dado de la relación de $\displaystyle(i)\sum\limits_{k=1}^{12}\tan\frac{k\pi}{13}\cdot \tan\frac{3k\pi}{13}=2\sum\limits_{k=1}^6\tan\frac{k\pi}{13}\cdot \tan\frac{3k\pi}{13}$

$\displaystyle(ii)u_k=\tan^2\frac{k\pi}{13},1\le k\le6$

serán las raíces de

$\displaystyle\binom{13}1-\binom{13}3u+\binom{13}5u^2-\binom{13}7u^3+\binom{13}9u^4-\binom{13}{11}u^5+u^6=0\ \ \ \ (2)$

Ahora, $\displaystyle y_k=\tan\frac{k\pi}{13}\cdot \tan\frac{3k\pi}{13}=\frac{3u_k-u_k^2}{1-3u_k}$ (con $\tan3A$ fórmula )

$\displaystyle\implies u_k^2=3u_k-y_k(1-3u_k)=3u_k(1+y_k)-y_k$

Por lo tanto, necesitamos transformar la Ecuación de $\#(2)$ en términos de $y$

A continuación, aplicar Vieta Fórmulas.

Pero mi Pregunta es ¿por $\displaystyle\tan\frac{k\pi}{13}$ está vinculado con $\displaystyle\tan\frac{3k\pi}{13},$, pero no con $\displaystyle\tan\frac{2k\pi}{13}$ o $\displaystyle\tan\frac{5k\pi}{13}$ etc.?