Funciones armónicas en $\mathbb{R}^d$

Question

Quiero establecer la equivalencia de las 3 definiciones estándar, y que la armónica de funciones se $C^\infty$. El 3 definiciones son:

1. Valor medio de la propiedad y continua.
2. $C^2$ $0$ Laplaciano.
3. Valor medio de la propiedad sobre arbitrariamente pequeñas bolas y continua.

La única ayuda creo que tengo aquí es una prueba de la existencia y unicidad de solución para el problema de Dirichlet en la bola. (Que me ayudaría a conseguir 3 implica 2, junto con la máxima de la propiedad para armónica de las funciones de tipo 3, que debe ser fácil de demostrar.) 2 implica 1 utilizando los argumentos para tomar un derivado de la virtud de la integral, y, a continuación, el uso de gauss teorema de la divergencia. 1 implica 3 obviamente. También necesito ayuda para ver que la armónica de funciones debe ser $C^\infty$. No estoy acostumbrado a los métodos que no impliquen el análisis complejo, ya que debe ser utilizado aquí.

Sé que no es una teoría de la plurisubharmonic funciones. Como un bono pregunta, ¿de aquellos que tienden a ser útiles en el exterior de análisis complejo, y se ha discutido por la extraña dimensión? Por ejemplo, nunca los he visto discutido en el análisis armónico, tampoco parecen ser muy útiles en relación a Browniano de las mociones, que es la razón por la que estoy aprendiendo el d-dimensional versión de armónica de la teoría de la función ahora.

Edit: ahora que lo pienso, también me gustaría un poco de ayuda demostrando el abierto de asignación de la propiedad y la máxima propiedades para armónica de funciones. Por favor, sólo asume la definición 3 de aquí, porque yo lo uso y una conexión argumento para establecer 3 implica 2. La declaración precisa de la definición 3 es como en Greene y Krantz, pero para d dimensiones:

$f$ es "armónico (3)" si $f$ es continua y $\forall x \in U$ el dominio de $f$ existe $\epsilon>0$ tal que todas las bolas de radio $\epsilon$ o menos centrada en $x$ están contenidos en U y $f$ satisface el MVP para que la bola/de la cáscara esférica.

Answer 1

Para el problema de Dirichlet en un baile en $\mathbb R^n$ de radio $r$:

$$\begin{cases}\Delta u=0&\text{ in }B^\circ (0,r)\u=g&\text{ in }\partial B(0,r)\end{cases}$$ assuming $g$ is continuous on $\partial B(0,r)$.

El Poisson Kernel en esta bola es $$K(x,y)=\dfrac {1}{na(n)r}\cdot\dfrac {r^2-|x|^2}{|x-y|^n}$% $ de una placa de $ where $es el volumen de la bola unitaria.

$$u(x)=\dfrac{r^2-|x|^2}{na(n)r}\int_{\partial B(0,r)}\dfrac{g(y)}{|x-y|^n}dy, x\in B^\circ (0,r)$ $ No tienes que demostrar:

$1.u\in C^\infty (B^\circ (0,r))$

$2.\Delta u=0,\text{ in } B^\circ (0,r)$

$3.\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=g(x_0),\forall x_0\in\partial B(0,r)$