La más sucia, la menos interesante de las diversas pruebas del teorema de la función inversa se produce después de que han construido la función inversa y ahora debe establecer la continuidad y la diferenciabilidad.
Las estimaciones que se requieren no son muy duros, pero siempre me ha molestado estéticamente.
Mientras reflexiona sobre esto hoy, me di cuenta de que estas estimaciones podrían ser anuladas si la continuidad y la diferenciabilidad se define en términos de topológicas y geométricas propiedades de la gráfica. Si $f : X \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ es invertible, entonces a $\Gamma_f = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ $\Gamma_{f^{-1}}$ están relacionados por una isometría, para una caracterización de la continuidad y la diferenciabilidad en términos de una función gráfica de inmediato implica que $f$ es continua ni derivable si el mismo es cierto para $f^{-1}$.
Con una sola variable, tenemos la caracterización que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua si su gráfica es conectado y cerrado en $\mathbb{R}^2$. Para la diferenciabilidad, podemos considerar el lápiz de líneas a través de un punto de $x$ y decir que $f$ es diferenciable en a $x$ fib de la gráfica es pathwise conectado en un barrio de la $U \subset \Gamma_f$ $x$ y si para todas las secuencias de $\{x_i\}$ $U$ convergentes a $x$ el correspondiente secantes todos convergen (en el espacio proyectivo de la estructura) para el mismo límite.
Con esto, tenemos un completo cualitativo de la prueba del teorema de la función inversa de una variable. Suponga $f$ es continuamente diferenciable y que $f'(x_0) \neq 0$. Por la continuidad de $f'$, podemos ver que $f'$ tiene signo constante en un barrio de $x_0$. Por lo tanto, $f$ a nivel local es monotono y por lo tanto invertible en ese barrio. Como f es continua y derivable y que hemos definido estas propiedades en términos de gráficos, se deduce que este local inversa es igualmente continua y diferenciable desde los dos gráficos son reflejos.
¿Qué acerca de las definiciones para el caso general de $f : X \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$?
Así, la definición de la diferenciabilidad es fácilmente extensible. En lugar de secuencias de puntos individuales, debemos utilizar secuencias de $m$-tuplas de puntos y requieren que los puntos en cada tupla se affinely independiente para que abarcan una $m$-piso en $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$. El lápiz de líneas es reemplazado con el lápiz de $m$-pisos de la realización de la estructura estándar como un Grassmannian. Sencillo de cosas, creo.
La cosa estoy seguro acerca de si el gráfico basado en la definición de continuidad puede ser extendido a diversas variables. La definición usando closedness y la conexión funciona para $m = 1$ desde $\mathbb{R}^n$ es localmente compacto, pero para mayor $m$ hay contraejemplos ya con $m = 2$$n = 1$.
- La definición de gráfico basado en la continuidad del ser reparado a trabajar para todos los $m$$n$? Al menos en el $n \geq m$ caso que nos preocupamos por el IFT? Tal vez el basado en closedness y la conexión es realmente adecuado si presuponemos gráfico basado en la diferenciabilidad así?
- ¿Ve usted alguna agujeros en mi razonamiento?
