Serie Laurent de $f(z)=(z+1)\sin\frac{z^{2}+2z+5}{(z+1)^{2}}$

Question

Se nos pide que encontremos la serie de Laurent para la siguiente función.

$$f(z)=(z+1)\sin\frac{z^{2}+2z+5}{(z+1)^{2}}$$

Alrededor del punto $$z_{0}=-1$$

He intentado factorizar el interior del seno, sin éxito.

Sé que $\sin(z)$ en $z=0$ es un polo simple, incluso si el interior es un cuadrado como $(z+1)^2$ .

Además, creo que el término $(z+1)$ multiplicado por el seno, podría sugerir una derivada de algún tipo.

Aparte de eso, estoy perdido en cuanto a qué hacer con el interior del seno.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí tienes algunas pistas:

1. $z^2+2z+5 = (z+1)^2+4$
2. Utilizar una serie de Taylor del seno, pero no la habitual uno.

Creo que esto debería ser suficiente para empezar. Si no tienes ni idea de cómo usar estas pistas, puedo darte más pistas.

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Edición #1.

Pensé que poner "uno" en cursiva sería una buena pista...

Básicamente, estaba sugiriendo que usaras la serie de Taylor de pecado centrada en 1.

Pero el comentario de @Santosh Linkha podría funcionar mejor, ya que podrás utilizar la serie Maclaurin de sin y cos.

En cualquier caso, tendrás $\sin(1)$ y $\cos(1)$ aparecen como coeficientes de su serie.