¿Ayudar a resolver un determinante de n x n?

Question

Todavía soy un principiante, y agradecería algún consejo con respecto a esto. (Solución total apreciado, pero las sugerencias más!)

Este es el problema.

\begin{equation}{D_n} = \begin{vmatrix} 1+{a_1} & 1 & ... & 1 \ 1& 1+{a_2} &... & \vdots \ \vdots &... &\ddots &1 \ 1&1 & ... & 1+{a_n} \end{vmatrix}

Así que, usando operaciones elementales, simplemente he multiplicado la última fila por -1 y se añade a todas las demás filas para obtener la siguiente matriz, por lo que nos quedamos con dos columnas para ampliar.

\begin{equation}{D_n} = \end{equation} \begin{vmatrix} {a_1} & 0 & ... & 0 & -{a_n} \\ 0& {a_2} & 0 & ... & \vdots \\ \vdots &... &\ddots &... &\vdots \\ 0 &... &0 &{a_{n-1}} & -{a_n}\\ 1& ... & ... & 1& 1+{a_n} \end{vmatrix}

Aquí es donde me quedé atrapado - si me ampliado de ellos, me gustaría conseguir

\begin{equation}{a_1}\times cofactor(a_{11}) + (-1)^n \times -{a_n} \times cofactor(a_{1n})\end{equation}

Ambos de los cuales se convertiría en fórmulas recursivas.

Hay una forma alternativa de la simplificación de la matriz original para obtener más fácilmente calculable formato?

EDIT: después de Alex de la punta, me amplió aún más por la multiplicación de cada fila por su negativa recíproca para cancelar el 1 en la última fila, por lo que el factor determinante es simplemente igual al producto de las diagonales de las células.

La última respuesta que me dieron fue

\begin{equation}\prod_{k=1}^{n-1} {a_k} \times \left(1 + {a_n} + {a_n} \left( \frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right)\right)\end{equation}

Answer 1

voy a demostrar que $$det \pmatrix{1+a_1&1&\cdots&1\\1&1+a_2&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&1+a_n} = a_1 a_2 a_3 \cdots\ a_n \left(1 + {1 \over a_1} + {1 \over a_2}+ {1 \over a_3} +\cdots + {1 \over a_n} \right). $$

aquí hay otra manera de calcular el determinante de la matriz $A$ donde $A = uu^T + diag(a_1, a_2, \cdots) $ donde $u = (1, 1, \cdots)^T.$ voy a ilustrar mi método en el caso de $3 \times 3$ matriz.

supongamos $\{ \lambda, \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3} \}$ es un eigenpair, entonces $$A \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3} = (x_1 + x_2 + x_3)\pmatrix{1\\1\\1} + \pmatrix{a_1x_1\\a_2x_2\\a_3x_3} = \lambda\ \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}$$ a partir de esto tenemos tres ecuaciones $$x_1 = {x_1 + x_2 + x_3 \over \lambda - a_1}, x_2 = {x_1 + x_2 + x_3 \over \lambda - a_2}, x_3 = {x_1 + x_2 + x_3 \over \lambda - a_3}.$$ la adición de estas ecuaciones podemos encontrar el polinomio característico de a $A$ $$1 = {1 \over \lambda - a_1} + {1 \over \lambda - a_2} + {1 \over \lambda - a_3}.$$

En particular, la recopilación de los términos constantes en el polinomio característico da el resultado reivindicada en la parte superior del poste.

voy a generalizar el resultado anterior: el polinomio característico de $$cb^T + diag(a_1,a_2,\cdots a_n)$$ is given by $$1 = {b_1c_1 \over \lambda - a_1} + {b_2c_2 \over \lambda - a_2} + \cdots + {b_nc_n \over \lambda - a_n}$$ where $b =\pmatrix{b_1 \\ b_2\\ \vdots \\ b_n}, c = \pmatrix{c_1\\c_2\\ \vdots \\c_n}.$

prueba: voy a tomar $n=3.$ antes $Ax = cb^Tx + diag(a_1,a_2, a_3)x = \lambda x$ puede ser escrito en vector

$$(b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3)\pmatrix{c_1\cr c_2\cr c_3} + \pmatrix{a_1x_1\\ a_2x_2\\ a_3x_3} = \lambda\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}$$ las tres ecuaciones de leer ahora como

$$x_1 = {c_1(b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3) \over \lambda - a_1}, x_2 = {c_2(b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3) \over \lambda - a_2}, x_3 = {c_3(b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3) \over \lambda - a_3}.$$ multiply by $b_1,b_2$ and $b_3$, a continuación, añadir las tres ecuaciones que muestran el resultado deseado.

agradezco a la cooperativa para la publicación de este problema. he disfrutado trabajando a través de este.

Answer 2

Parece que puede continuar más lejos como sigue. Multiplicar por $a_i^{-1}$ la $i$-ésima fila y agregar a la última, se mata a "1" a $(n,i)$-celular. Entonces se puede calcular el determinante como el producto de las células de la diagonal de la matriz obtenida. Los casos en que $a_i=0$ debe considerarse por separado.

Answer 3

Aquí hay otra solución. Su matriz $D_n$ es igual a(n,n)+Diag($a_1,a_2,\ldots,a_n$).

Así, inmediatamente me preguntó qué teoremas hay por ahí para tomar el determinante de la suma de matrices. El primer resultado que he encontrado es este: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma

Para aplicar este lema, la Matriz de Determinante Lema, usted necesita $D_n$ a ser la suma de una matriz invertible (tiene silenciosamente, se supone que todos los $a_k$ son no-cero, de modo Diag($a_1,a_2,\ldots,a_n$) para este), además de un producto de vectores (y aquí podemos utilizar el hecho de que(n,n)=(n)*(n)$^T$).

He aquí la fórmula de la lexema:

Así, obtenemos:

$$\text{det}(D_n)=(1+1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n)(a_1a_2\cdots a_n)$$

o de manera más compacta:

$$\text{det}(D_n)=\bigg(1+\sum_{i=1}^{n} a_i^{-1}\bigg)\prod_{i=1}^{n} a_i$$

Esto puede ser visto de la misma solución que el OP da en su edición.