Variación limitada, diferencia de dos funciones en aumento

Question

Pruebalo

• si$f$ es de variación acotada en$[a,b]$, es la diferencia entre dos funciones incrementales positivas y monótona; y
• la diferencia de dos funciones incrementales monotónicas limitadas es una función de la variación limitada.

Answer 1

• Deje $f$ una función de variación acotada. Deje $F(x):=\sup \sum_{j=1}^{n-1}|f(x_{j+1})-f(x_j)|=:\operatorname{Var}[a,x]$, donde el supremum es tomado a través de la $x_1,\ldots,x_n$ que satisfacer $a=x_1<x_2<\ldots<x_n=x$. Desde $f$ es de variación acotada, $F$ es acotado, y por definición en aumento. Deje $G:=F-f$. Tenemos que mostrar que $G$ es limitado y en aumento. Acotamiento de la siguiente manera a partir de esta propiedad para$f$$F$, ahora fix $a\leq x_1<x_2\leq b$. Tenemos $$G(x_2)-G(x_1)=F(x_2)-f(x_2)-F(x_1)+f(x_1)\geq 0$$ debido a $\operatorname{Var}[a,x_1]+f(x_2)-f(x_1)\leq \operatorname{Var}[a,x_1]+|f(x_2)-f(x_1)|\leq \operatorname{Var}[a,x_2]$.
• Si $f$ $g$ es de variación acotada así es $f-g$. Si $f$ es creciente entonces tenemos, si $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ que $\sum_{j=1}^{n-1}|f(x_{j+1})-f(x_j)|=|f(b)-f(a)|$, lo $f$ es de variación acotada. De modo que la diferencia de dos delimitada monotónica creciente de funciones de variación acotada.