En un compacto de Riemann colector $M$ la descomposición de Hodge toma la forma $$\Omega^k(M)=d\Omega^{k-1}(M)\oplus\mathcal{H}(M)\oplus d^*\Omega^{k+1}(M)$$ Donde $d^*$ es el adjunto de a $d$ w.r.t. el producto interior inducida por la métrica.
Ahora, en una superficie de Riemann no tenemos una métrica, pero tenemos un canónica de conformación de la estructura. Esta conformación de la estructura es suficiente para darnos una Hodge-$\star$ operador $$\star:\Omega^1(M)\to\Omega^1(M)$$ En este marco, la descomposición de Hodge toma la forma $$\Omega^1_2(M)=E\oplus\star E\oplus\mathfrak{h}(M)$$ Donde $$E=\overline{\{df\mid f\in \Omega^0(M)\}}$$ $$\star E=\overline{\{\star df\mid f\in \Omega^0(M)\}}$$ $$\mathfrak{h}(M)=\{\omega\in\Omega^1(M)\mid d\star \omega=d\omega=0\}$$ Donde los cierres están en el $L^2$ sentido.
Estos dos descomposición se ve muy diferente para mí. El plazo $d\Omega^{k-1}(M)$ se parece a $E$. Pero yo no reconocen un análogo de la $d^*$ en la superficie de Riemann caso. $$d^*:\Omega^k(M)\to \Omega^{k-1}(M)$$ se construye normalmente como $\star d\star$, sin embargo esto requiere de una $\star:\Omega^2(M)\to\Omega^0(M)$, pero la conformación de la estructura en $M$ no es suficiente para darnos ese $\star$.
También, el $\mathcal{H}$ en la de Riemann colector de caso se caracteriza por una condición que implica $d^*$, lo que no tenemos en una superficie de Riemann, así que no veo la manera de $\mathcal{H}$ compara a $\mathfrak{h}$.
Así que mi pregunta es si estas dos formas de la descomposición de Hodge son en cierto sentido la misma, o si estos son fundamentalmente diferentes descomposiciones? La ausencia de una métrica en la superficie de Riemann sugiere que deberíamos ser un poco más grueso de descomposición, ya que una métrica es más rígido, a continuación, una de conformación de la estructura. Sin embargo, hay bastantes similitudes entre las descomposiciones que me hacen pensar que debe haber alguna conexión.
