$\lim_{a \to 0^{+}} \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{\cos(x)-\cos(a)}} \;dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Question

Cómo puedo probar

$$\lim_{a \to 0^{+}} \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{\cos(x)-\cos(a)}} \;dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$

Answer 1

Puede expandir $\cos(x)$ en una serie de Taylor, manteniendo sólo los dos primeros términos, ya que el resto a cero. Se obtiene la integral: %#% $ #% desde $$\int_0^b{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a^2 - x^2}}}dx = \sqrt{2} \arctan\left(\frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}\right)$, el resultado sigue.

Answer 2

Explotar la identidad trigonométrica $ \cos(x) = 1-2\sin^2(\frac{x}{2}) $ y hacer el cambio de variables $x=ay$ resultados en la siguiente integral,

$$ a\int _ {0} ^ {1} \! {\frac {1} {\sqrt {-2\, \sin^2 \left (\frac{a}{2} \right) + 2\, \sin^2 \left (\frac{a y} {2} \right)}}} {dy} $$

Usando el hecho de que $ \sin(a)\approx a $ cuando $a \rightarrow 0 $ en el rendimiento integral arriba

$$ \sqrt {2}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{\sqrt {1-{y}^{2}}}}{dx} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \,.$$