¿Cómo agregar el esquema de inducción de orden completo segundo afecta la fuerza de la consistencia de los subsistemas de la segunda aritmética de la orden?

Question

Después de mi pregunta acerca de la $\omega$-modelos, estoy interesado en la interacción entre los subsistemas de la aritmética de segundo orden con restricciones de inducción como $\mathsf{RCA}_0$ y aquellos que, además de satisfacer la totalidad de segundo orden esquema de inducción, es decir, el universal, el cierre de

$$(\varphi(0) \wedge \forall{n}( \varphi(n) \rightarrow \varphi(n + 1))) \rightarrow \forall{n} \; \varphi(n)$$

para todas las fórmulas de $\varphi$, en el lenguaje de la aritmética de segundo orden $\mathrm{L}_2$,$\mathsf{RCA}$. Específicamente, hacer el unsubscripted sistemas de probar la consistencia de sus subíndice contrapartes, en todos o en algunos de los casos?

Yo creo que en el caso de $\mathsf{ACA}$$\mathsf{ACA}_0$, entonces este no espera, ya $\mathsf{ACA}$ demuestra la consistencia de $\mathrm{PA}$, que es equiconsistent con $\mathsf{ACA}_0$ -, pero no puedo recordar dónde he escuchado eso, ni por qué es verdad. Como una puñalada en la oscuridad me imagino que tal vez se podría formalizar una verdad de predicado de primer orden de la aritmética de segundo orden de la aritmética y, a continuación, proceder por inducción en la longitud de pruebas, pero que puede ser más bien una conjetura.

Answer 1

Me di cuenta de que el argumento de que tenía en mente para mi respuesta original es defectuoso, y después de un poco más de pensamiento no sé cómo solucionarlo o incluso si es correcto. Puede ser mejor que la onu acepte esta respuesta, a ver si alguien puede responder a la pregunta completa antes de que yo pueda.

Puedo responder a la parte acerca de ACA y PA. Es cierto que ACA se demuestra la consistencia de PA. Esto es porque ACA es capaz de definir un predicado de verdad de las fórmulas de PA, el uso de $\Sigma^1_1$ inducción. No puede hacer que toda la verdad predicado, porque este predicado no está en el mínimo de $\omega$-modelo de ACA que consta de sólo la aritmética conjuntos, pero ACA se puede probar por la $\Sigma^1_1$ inducción que para cada una de las $n$ hay una verdad del predicado $T_n$ $\Sigma^0_n$ fórmulas. A continuación, ACA pueden utilizar estas parcial de la verdad de los predicados para comprobar que los axiomas de la PA son todas verdaderas y $0=1$ es falso, por lo que PA es consistente. La diferencia con $\mathsf{ACA}_0$ es que el $\mathsf{ACA}_0$ no puede demostrar que para cada $n$ hay una satisfacción predicado por $\Sigma^0_n$ fórmulas, sólo se puede demostrar la existencia de cada uno de ellos fijo estándar $n$.