Significado intuitivo de la ortogonalidad de las transformaciones lineales w.r.t Frobenius (H-S) interno producto

Question

Asumir $\langle A,B \rangle = 0$, donde $A,B$ son matrices de $n \times n$ y $\langle , \rangle$ es el producto interno de Frobenius. (También conocido como producto interno de Hilbert-Schmidt).

¿Qué significa intuitivamente? En particular, ¿hay alguna interpretación relevante cuando pensamos en $A,B$ como transformaciones lineales?

¿Por qué cuando $\langle A,B \rangle > 0$?

Answer 1

Me gustaría tener una respuesta mejor para esto, y estoy interesado en escuchar lo que dicen otras personas. Pero una cosa a tener en cuenta es que el seguimiento tiene una interpretación física: $$\operatorname{Tr}A = \left. \frac{d}{dt}\right|_{t=0}\det(I + tA) = \left. \frac{d}{dt}\right|_{t=0}\det (e^{tA}).$$

Por lo tanto, si el flujo a lo largo del campo de vectores $F(x)=Ax$, $\operatorname{Tr}A$ es la cantidad que este flujo distorsiona el volumen. (Este es el resumen de una Pila de respuesta en algún lugar cuyo enlace he perdido.)

Por tanto, decir que $\operatorname{Tr}B^*A=0$ es decir que si el flujo de $y'(t) = B^*Ay(t)$ no va a cambiar de volumen. (Esta es la razón por la traceless matrices son el espacio de la tangente a $SL_n(\mathbb{R})$ a la identidad, puesto que $SL_n(\mathbb{R})$ se define por su constante determinante.)

Lo siento, no tenemos nada mejor.