Deje$A,B$ ser dos matrices positivas definidas. Suponer que $\|A\|>2\|B\|$. ¿Es posible mostrar que$\|B^{-1/2}AB^{-1/2} - I\| >1/2$, donde$I$ es una matriz de identidad y la norma es la norma supremo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Recordar para matrices $C,D$ que $\sigma(CD)=\sigma(DC)$ donde $\sigma(F)$ indica el espectro de una matriz de $F$. Suponiendo que ambos $CD$ $DC$ son normales, llegamos a la conclusión, en particular,$\|CD\|=\| DC\|$.
Desde $A-B$ es auto-adjunto, podemos asumir que se es diagonal, $A-B=\mbox{diag }(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$,$\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$. Deje $U=\mbox{diag }(\mbox{sign }\lambda_1,\ldots,\mbox{sign }\lambda_n)$$P=\mbox{diag }(|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_n|)$. A continuación,$A-B=UP$. Si nos vamos a $$ v_j=\begin{cases}1 &\mbox{if }\mbox{sign } \lambda_j=1,\\ 0 &\mbox{if }\mbox{sign } \lambda_j=0,\\ i &\mbox{if }\mbox{sign } \lambda_j=-1, \end{casos} $$ y poner $V=\mbox{diag }(v_1,\ldots,v_n)$$Q=P^{1/2}=\mbox{diag }(|\lambda_1|^{1/2},\ldots,|\lambda_n|^{1/2})$, luego tenemos a $(VQ)^2=UP=A-B$.
Vemos que \begin{align*} \|B^{-1/2}AB^{-1/2} -I\|=\|B^{-1/2}(A-B)B^{-1/2}\|=\|B^{-1/2}VQQVB^{-1/2}\| =\|VQB^{-1}QV\|. \end{align*} Ahora utilizamos la relación $B^{-1}\geq 2/\|A\|$ obtener $$ VQB^{-1} QV\geq (2/\|\|) VQQV=2(a-B)/\|\|.$$ En particular, por una solicitud de la desigualdad de triángulo, \begin{align*} \|B^{-1/2}AB^{-1/2} -I\|&\geq \frac{2\|A-B\|}{\|A\|}\geq \frac{2(\|A\|-\|B\|)}{\|A\|}>\frac{2\|A\|/2}{\|A\|}=1. \end{align*}
EDIT: Aquí es mucho más simple derivación. Pick $x$ tal que $Ax=\|A\|x$$\|B^{1/2}x\|=1$. Entonces \begin{align*} \|(B^{-1/2}AB^{-1/2}-I)\|&\geq\|(B^{-1/2}AB^{-1/2}-I)B^{1/2}x\|\geq \langle B^{1/2}x,(B^{-1/2}AB^{-1/2}-I)B^{1/2}x\rangle\\ &=\langle x,(\|A\|-B)x\rangle\geq\langle x,(\|A\|-\|B\|)x\rangle\\ &>\langle x,\|B\|x\rangle \geq \langle x,Bx\rangle = \|B^{1/2}x\|^2=1. \end{align*}
