Aproximación de la función indicadora de un conjunto abierto mediante funciones continuas

Question

Deje $(X,\mathcal{T})$ ser localmente compacto separable espacio de Hausdorff y $A \in \mathcal{T}$ abierto. ¿Existe una secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (bounded) funciones continuas tales que $$f_n(x) \uparrow 1_A(x)$$ for all $x \in X$? Es bien sabido que este resultado se mantiene si

• $(X,d)$ es un espacio métrico (prueba)
• $X$ es localmente compacto, con una contables (porque entonces es metrizable).

Pensé acerca de la aplicación de Urysohn del lema, pero en realidad esto me deja con la búsqueda de una secuencia $(K_n)_n$ compacto conjuntos tales que a $K_n \uparrow A$. Mientras tanto, he reconocido que - en general - no existe una secuencia (véase esta cuestión). Alguna sugerencia?

Answer 1

Parece que el siguiente.

La respuesta es negativa. Deje $I=[0;1]$ ser la unidad de segmento dotado de la topología estándar. Poner $X=I^{\omega_1}$. Por el Teorema de Tychonoff $X$ es compacto. Por Hewitt-Marczewski-Pondiczeri Teorema [Eng, 2.3.15], $X$ es separable. Para cada subconjunto $S$ del conjunto de $\omega_1$ $\pi_S$ se denota la proyección de $X=\prod\{I_\alpha\colon \alpha\in\omega_1 \}\to\prod\{I_\alpha\colon \alpha\in S\}$. Poner $A=\bigcup_{\alpha\in\omega_1}\pi_{\{\alpha\}}^{-1}([0;1/2))$. A continuación, $A$ es un subconjunto abierto del espacio $X$. Supongamos que una función $1_A$ es un pointwise límite de una secuencia $(f_n)$ de funciones continuas. Por el Teorema de la, cada una de las $f_n$ es función sólo de contables número de coordenadas [Eng, Problema 2.7.12 (d)], es decir, existe una contables subconjunto $S_n$ $\omega_1$ y una función de $g_n: \prod\{I_\alpha\colon \alpha\in S_n\}\to I$ tal que $f_n=g_n\pi_{S_n}$. A continuación, la función de $1_A$ es función sólo de contables número de coordenadas (a partir de una familia de $\bigcup S_n$), una contradicción.

Referencia

[Esp] Ryszard Engelking, Topología General, 2ª ed., Heldermann, En Berlín, En 1989.