Prueba $3^n>n^2$ por inducción

Question

Demostrar que $3^n>n^2$ para cualquier entero positivo n>2

Deje $n=1$ $$3^1>1^2$$ Deje $n=2$ $$3^2>2^2$$ Suponga que P cumple para n=k $$3^k>k^2$$ Deje $n=k+1$ $$ \begin{align} 3^{k+1}>(k+1)^2 \\3\times3^k>(k+1)^2 \end{align}$$ Desde aquí no puedo encontrar dónde ir para finalizar la prueba.

La parte principal de la cuestión es la prueba, sin embargo; me gustaría saber también si el uso de $n=k+1$ es siempre el camino a seguir? Sólo he hecho un par de pruebas por inducción y por el momento, a mi entender, es que el punto es para probar la función, la serie o la instrucción para todos los enteros positivos. Hay una manera especial para ir acerca de estos tipos de problemas, cuando sólo se da una desigualdad o una afirmación? En comparación a se dan una secuencia y le dijo lo que la secuencia como una función, es decir, yo.e $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ como un ejemplo de una sencilla secuencia de demostrar con $n=k+1$

Answer 1

Usted probó $n=1,2$.

Así hacemos $$3^{k+1}=3 \times 3^{k} >3k^2 $ $ de la Asunción. Si $k \ge 2$, se deduce que $k^2\ge2k$, $k^2>1$ así, $$3k^2=k^2+k^2+k^2>k^2+2k+1=(k+1)^2$$ So $$3^{k+1}>3k^2>(k+1)^2$$Thus, $P $ holds is $n = k +1$. ¡Hemos terminado!

En cuanto a tu segunda pregunta, hace uso de inducción la mayoría $$n=k \rightarrow n=k+1$$ However, there are several different kinds of induction, such as using $$n=k,k+1 \rightarrow n=k+2$$ or $% $ $n=1,2,3,4,\dots,k \rightarrow k+1$el último se llama inducción fuerte.

Answer 2

ps