Que A ser cualquier álgebra de C *, probar dual de $M_n(A^{})\cong M_n(A)^{}$ $A^{**}$, donde $A$ es el doble. Quien me puede dar alguna sugerencias o los libros de referencia sobre el isomorfismo sobre álgebra de la matriz. Me gustaría dar las gracias por adelantado cualquiera que toma algún tiempo para ayudarme hacia fuera.
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Es suficiente para demostrar que $M_n(A^*)\simeq M_n(A)^*$, desde entonces $$ M_n(A^{**})\simeq M_n (^*)^*\simeq M_n(A)^{**}. $$ Un canónica manera de hacer esto es el mapa $\phi:M_n(A^*)\to M_n(A)^*$ por $$ \phi(x)(b)=\sum_{k,j} x_{kj}(b_{kj}). $$ Este mapa es obviamente lineal. Es fácil ver que es uno-a-uno mediante la evaluación de las matrices con un único cero de la entrada. Queda por comprobar es hacia. Así que si $f:M_n(A)\to\mathbb C$ es lineal y funcional, definir funcionales $f_{kj}:A\to\mathbb C$ por $$ f_{kj}(a)=f(a\otimes E_{kj}), $$ donde $E_{kj}$ denota la matriz unidad con su distinto de cero en la entrada de la $k,j$ entrada. Deje $x_f=[f_{kj}]\in M_n(A^*).$,,$b\in M_n(A)$, $$ \phi(x_f)b=\sum_{k,j} f_{kj}(b_{kj})=\sum_{k,j}f(b_{kj}\otimes E_{kj})=f(\sum_{k,j}b_{kj}\otimes E_{kj})=f(b), $$ por lo $\phi(x_j)=f$ $\phi$ es sobre.
