Tallo del cociente Presheaf

Question

Considere una gavilla de grupos abelianosS$\mathscr F$ en un espacio topológico$X$. Si$\mathscr F'$ es un subgrupo de$\mathscr F$ (sobre$X$), entonces podemos construir el cociente presheaf$\mathscr F/\mathscr F'$ de la siguiente manera:

ps

Ahora no entiendo por qué es cierto que$$(\mathscr F/\mathscr F')(U):=\mathscr F(U)/\mathscr F'(U)$ para cada$(\mathscr F/\mathscr F')_x=\mathscr F_x/\mathscr F'_x$.

Notación: $x\in X$ es una presheaf (de grupos abelianos) sobre$\mathscr F$ y$X$, con la notación$x\in X$ Me refiero al tallo en$\mathscr F_x$.

Answer 1

Esto se desprende del hecho de que los límites directos son exactos en la categoría de (sistemas directos de) grupos abelianos (nota: esto no es cierto para los colimits arbitrarios). Te sugiero que intentes demostrarte esto al menos una vez, ya que es un ejercicio importante.

Answer 2

$\def\cF{\mathcal{F}}$ Esto se sigue del siguiente hecho muy bueno:

Si$\cF$ es una presheaf en$X$ y$\widetilde{\cF}$ es su sheafification, entonces para todo$x \in X$, el mapa natural$\cF_x \to \widetilde{\cF}_x$ es un isomorfismo.

Esto se desprende de la construcción explícita de la sheafification como secciones de la unión disjunta de tallos de la presaf. No estoy seguro de si hay una manera más fácil de verlo.