Resolver para detener el punto de suma

Question

Actualmente estoy en el 8vo grado y en mi clase de Álgebra estamos cubriendo en la actualidad un crecimiento exponencial, por ejemplo, la división de las bacterias, la mosca de la fruta de crecimiento, etc. De todos modos, uno de los ejercicios que hicimos fue en zombies. El problema comenzó con 5 "sleeper cell" los zombies, que cada día podría "dar vuelta" tres seres humanos. La ecuación se veía así: $5\times 3^x = h$

$h$ = los seres humanos infectados cada día.

Mientras que esto fue muy interesante, yo quería ver cuántos total de personas infectadas no fueron incluidos en el original 5 "sleeper cell" zombies. Yo tenía una calculadora científica de mano, por lo que calcula la suma de todos los de este con $\displaystyle \sum_{d=0}^{19}5(3)^d$ donde $d = $ días pasaron.

Esto terminó siendo 8,716,961,000, un poco más que el total de la población de la Tierra. Por lo tanto, $d>18$ pero $d<19$ en orden para la suma de los $\approx$ 7,000,000,000 (la población de la Tierra).

Mi pregunta es, es posible resolver el punto de parada de la suma y la parte superior del valor de la suma? Por favor, tenga en cuenta que aunque estoy en AP 8 grado en matemáticas, yo no soy matemático, así que por favor mantenga las explicaciones en el ámbito de mi comprensión.

Answer 1

Esta pregunta es agradable!

Bueno digamos que la suma de la primera $n$ condiciones es $s_n$ (olvídense de los 5 primeros):

$$ s_n = \sum_{i=0}^n 3^i $ $ , Entonces sabemos que:

$$ 3\cdot s_n =\sum_{i=0}^n3^{i+1} =3^1+3^2+3^3+\dots+3^{n+1} \\ s_n=\sum_{i=0}^n3^i=3^0+3^1+3^2+\dots+3^n$$

Así que vamos a restar esas sumas:

$$ s_n - 3\cdot s_n = \sum_{i=0}^n3^{i}-3^{i+1}=3^0+\underbrace{(-3^1+3^1)}_{=0}+(-3^2+3^2)+\cdots-3^{n+1} = 3^0-3^{n+1}$$

Así, sabemos que:

$$ s_n-3\cdot s_n = s_n(1-3) = 1-3^{n+1}$$ Así que vamos a intentar conseguir la $n$: $$ 3^{n+1} = 1+2s_n$$

Ahora tenemos que tomar el $\log_3$:

$$ n+1 = \log_3\left(1+2s_n\right) = \frac{\log(1+2s_n)}{\log(3)}$$

Así que esperar que nos hemos olvidado de la $5$ a la derecha, por lo que su detención valor de $S$ es cinco veces más grande: $$ S = 5\cdot s_n$$

Dándole la fórmula:

$$ n = \frac{\log\left(1+\frac{2}{5}S\right)}{\log(3)}-1 $$

Answer 2

Creo que hay algo que no está del todo bien sobre la ecuación de $h=5\times3^x$.

Mírelo de esta manera. Usted comienza el día 1 con $5$ zombies. Cada uno de ellos ", se convierte en" tres seres humanos que día. Así que al final del día en el que la original $5$ zombies $15$ nuevos zombies, para un total de $20$. Ahora en el día 2, los $20$ zombies en cada turno de tres seres humanos, así que en ese final del segundo día de la $20$ zombies que comenzó con más $60$ zombies nuevos, para un total de $80$. Al final del día 3 tendrás $80+240=320$ zombies, y así sucesivamente.

El punto es que los zombies no mueren (a menos que usted les disparan en la cabeza, por supuesto). Así que me parece que la ecuación básica es

$$Z(x)=\text{ the number of zombies at the end of day $x$ }=5\times4^x$$

Si usted desea saber el número de los seres humanos convertido en el día $x$, se podría escribir que como

$$h(x)=Z(x)-Z(x-1)=5(4^x-4^{x-1})=15\times4^{x-1}$$

Pero el número total de seres humanos de vuelta por la final de día $x$ es simplemente

$$Z(x)-5=5(4^x-1)$$

Si quieres saber cuando esta supera en número a la población de la Tierra, tenga en cuenta que $4^5=2^{10}\approx1000$, por lo tanto $4^{15}=2^{30}\approx1$ millones de euros. Multiplicando por $5$ y en comparación con el aproximado de la población humana de $7$ mil millones, vemos que los zombies de ejecución de la gente a su vez en el día 16.

Answer 3

Esta es una serie geométrica La ecuación general, si$r$ es la relación entre los términos ($3$ para usted) es$\sum_{i=1}^d r^i=\frac {r^{d+1}-1}{r-1}$ Puede distribuir el$5$. Puede usar logaritmos para resolver$d$