Si $A$ es una matriz de diagonalizable $n\times n$ para que los valores propios son $0$ y $1$ y $A^2=A$.

Question

<blockquote> <p>Si $A$ es una matriz de diagonalizable $n\times n$ para que los valores propios son $0$ y $1$ y $A^2=A$.</p> </blockquote> <p>Sé cómo comprobarlo en la dirección opuesta, sin embargo parece que no puedo encontrar una manera de probar esto. ¿Podría alguien ayudarme por favor?</p>

Answer 1

Escriba $A = QDQ^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal con valores propios, $0$s y $1$s, en la diagonal. El $A^2 = QDQ^{-1}QDQ^{-1} = QD^{2}Q^{-1}$. $D^2 = D$, Porque cuando el cuadrado de una matriz diagonal Plaza las entradas en la diagonal y $1^2 = 1$ y $0^2 = 0$. Por lo tanto

$$A^{2} = QD^{2}Q^{-1} = QDQ^{-1} = A$$

Answer 2

Otro enfoque, más teórica, pero tal vez más simple y más corto:

Puesto que una matriz es diagonalizable iff su polinomio mínimo se divide como un producto de factores lineales diferentes, siendo que sólo el $\,0,1\,$ son los valores propios sólo de la matriz, su polinomio mínimo debe ser $\,x(x-1)=x^2-x\,$, de donde

$$A^2-A=0\implies A^2=A$$