Ayudar a probar un teorema

Question

Durante los últimos días estoy tratando de demostrar Resultado 2 que he escrito más abajo que usa los conceptos de la matriz de decompostions para escribir la matriz de $A$ en la forma de bloque. Necesito ayuda para demostrar este teorema. Yo estaría muy agradecido por cualquier tipo de sugerencias y de ayuda .

Deje $X$ $Y$ el valor arbitrario de espacios de Banach y $B(X, Y)$ ser el conjunto de todos los delimitada lineal de operadores de $X$ a $Y$. $T$ y $S$, respectivamente, se cierra subespacios de $X$$Y$. A continuación, las siguientes declaraciones son equivalentes:

Resultado 1:(a) tiene un $(2)$ inverso $B\in B( Y, X)$ tal que $R(B) = T$$N(B) = S$.

(b) $T$ es un subespacio complementado de $X$, $A|_T:T \rightarrow A(T)$ es invertible y $A(T)\oplus S = Y$.

En el caso de $(a)$ o $(b)$ mantiene, $B$ es único y se denota por a $A^2_{T,S}$.

Resultado 2: Supongamos que las condiciones de Resultado 1 se satisfacen. Si tomamos $T_1 = N(A^2_{T,S} A)$ $X = T \oplus T_1$ posee y tiene la siguiente forma matricial:

$A =\left( \begin{array}{cc} A_1 & 0\\ 0 & A_2 \\ \end{array} \right) :\left( \begin{array}{c} T \\ T_1 \\ \end{array} \right)$ $\rightarrow$ $\left( \begin{array}{c} A(T) \\ S \\ \end{array} \right)$

donde $A_1$ es invertible.

Algunas de las definiciones y los resultados son como sigue:

1: matriz $X \in \mathbb{C}^{n\times m}$ se llama un $\{2\}$-inversa de $A$ con el rango prescrito $T$ y en el espacio nulo $S$, que se denota por a $A^{(2)}_{T,S}$, si se cumplen las siguientes condiciones: \begin{eqnarray*} XAX = X, ~~~ R(X) = T ~ and~~ N(X) = S. \end{eqnarray*} misma definición puede extenderse a espacios de banach.

2: $(A A^{(2)}_{T,S})^2 = A A^{(2)}_{T,S}$, $(A^{(2)}_{T,S}A)^2 = A^{(2)}_{T,S}A$

Aquí está el enlace del artículo de investigación donde encontré este resultt (Lema 1.1 y Lema 1.2). Los métodos iterativos para el cálculo de la inversa generalizada $A^{(2)}_{T,S}$ de los delimitada operador lineal entre espacios de Banach

Answer 1

Resultado 2. es una pura consecuencia de Resultado 1.: la forma de la matriz significa, básicamente, que $A|_T:T\to A(T)$, $\ Y=A(T)\oplus S$, y que $A(T_1)\subseteq S$. A continuación, $A_1:=A|_T$ $A_2:=A|_{T_1}$ va a hacer el trabajo. Tenga en cuenta que por el Resultado 1. ya sabemos que $A_1$ es isomorfismo.

Vamos a llamar a $B:=A^{(2)}_{T,S}$, y recordar que $T_1=N(BA)$$S=N(B)$. Así, por $x\in T_1$,$BAx=0$, $Ax\in N(B)=S$, según se desee.

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Una cosa básica a utilizar es la de que si un operador $U:X\to X$ es idempotente ($U^2=U$), entonces es una proyección: $X=N(U)\oplus R(U)$, e $U|_{R(U)}=id$.

Resultado 1. (a)$\Rightarrow$(b): Suponga que el $BAB=B$, y $R(B)=T$, $N(B)=S$. A continuación, tanto en $AB:Y\to Y$ $BA:X\to X$ son idempotente. Tenemos $$By=0 \implies ABy=0 \implies By=BABy=0\,, $$ por eso, $S=N(B)=N(AB)$. También tenemos $R(AB)=A(R(B))=A(T)$.

Del mismo modo, $T_1=N(BA)$$R(BA)=T$, debido a $R(B)=T$ implica $R(BA)\subseteq T$, y para todos los $t\in T$ hay un $y$ tal que $By=t$,$t=By=BA(By)$.