conjunto subyacente de límite directo, no el límite directo de los conjuntos subyacentes

Question

Estoy en busca de una categoría $\mathcal C$ definido por una especie de estructuras con morfismos $\Sigma$ (aquí me refiero a lo que se llama "espèce de estructura" en Bourbaki la Teoría de conjuntos, capítulo IV; en pocas palabras: los objetos de $\mathcal C$ son conjuntos dotados de algún tipo de estructura y morfismos se establecen en la teoría de los mapas que respetar esta estructura) de tal manera que el siguiente se tiene:

• directa límites (tomado dirigida conjuntos) existen en $\mathcal C$;
• el conjunto subyacente de un directo en el límite de $\mathcal C$ no es, en general, la directa límite de la base de conjuntos.

Por favor, me pregunta si algo no está claro. Gracias de antemano.

Answer 1

Un ejemplo típico es la categoría de espacios de Banach. El colimit de$\mathbb{C} \to \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^3 \to \dotsc$ es$l^2(\mathbb{N})$. Es la finalización del colimit de los espacios normados subyacentes$\mathbb{C}^{\oplus \mathbb{N}}$.

Un ejemplo similar pero más "discreto": el orden de los ordinales sucesores (considerado como una categoría). El colimit de$1 \leq 2 \leq 3 \leq \dotsc$ no es$\omega$, sino más bien$\omega+1$.

Answer 2

El más simple de los ejemplos de este tipo de cosas son las categorías de estructuras con infinitary operaciones.

Por ejemplo, supongamos $\mathcal{C}$ ser la categoría de conjuntos de $X$ equipada con una función de $\alpha : X^{\mathbb{N}} \to X$, con morfismos los mapas que conmuta con $\alpha$. Es fácil ver que $\mathcal{C}$ es completa, y en el hecho (pero no tan fácilmente) $\mathcal{C}$ es también cocomplete.

Afirmo que el olvidadizo functor $\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ no conserva filtrada colimits en general. De hecho, si esto fuera cierto, entonces la unión de una cadena de subestructuras siempre estaría cerrado bajo $\alpha$, pero se puede de forma directa encontrar un contraejemplo. (Por ejemplo,$X = \omega_1$$\alpha = \sup$.)