¿Puede la hipótesis del continuum generalizado disfrazarse como un principio de lógica?

Question

Una buena manera de formular el axioma de elección (AC) es:

AC. Para todos los conjuntos de $X$ $Y$ y todos los predicados $P : X \times Y \rightarrow \rm\{True,False\}$, tenemos: $$(\forall x:X)(\exists y:Y)P(x,y) \rightarrow (\exists f : X \rightarrow Y)(\forall x:X)P(x,f(x))$$

Nota el que conversar es un teorema de ZF, modulo de ciertos métodos de representación de los problemas.

De todos modos, lo que me parece bueno acerca de la formulación de CA de este modo es que, bueno, tal vez sea sólo yo, pero esta formulación realmente "se siente" como un principio de la lógica, como contraposición a la teoría de conjuntos. Quiero decir, tan solo decir que nos pueden viajar de un cuantificador existencial $(\exists y:Y)$ izquierda a través de un cuantificador universal $(\forall x:X)$ tan largo como reemplazamos la cuantificación existencial de los elementos de la $Y$ con la cuantificación existencial de las funciones de $X$ a $Y.$ Y seguro, "función" es un conjunto teórico concepto; sin embargo, esto se siente muy lógico para mí.

Pregunta. Puede la generalización de la hipótesis continua también se puede formular de una manera similar, por lo que también se siente como un principio de la lógica?

Obviamente esto es bastante subjetivo, por lo que permite trazar algunas reglas básicas.

1. El axioma debe ser equivalente a la generalización de la hipótesis continua de más de ZFC.
2. Tiene que ser de dos líneas o menos. No hay terreno de 4-página axiomas, muchas gracias!
3. El uso de conceptos como "función" y "predicado" es bueno y deseable.
4. El uso de los conceptos de inyección/surjection/bijection es moderadamente mal visto.
5. Completamente rechazado: el uso de cardinalidad y/o números cardinales; el uso de los números ordinales; mencionando $\mathbb{N}$ o $\omega$ o de las palabras "finito" o "infinito".

Answer 1

Sin duda, la Hipótesis continua (simple o generalizada) puede ser formulado en el lenguaje de puro de segundo orden de la lógica.

Esto se hace de forma explícita en Stewart Shapiro, el maravilloso libro de segundo orden de la lógica, de Fundaciones sin Fundacionalismo: ver páginas 105-106.

La historia completa es un poco demasiado largo para dar aquí. Pero como un catador, comienza esencialmente por el uso de Dedekind la definición de infinito, de modo que se defina Inf(X), $X$ una propiedad, como

$$\exists f[\forall x\forall y(fx = fy \to x = y) \land \forall x(Xx \to Xfx) \land \exists y(Xy \land \forall x(Xx \to fx \neq y))].$$

Ok, la primera cláusula de este impone el requisito de que $f$ es inyectiva: pero hemos hecho esta puramente en términos de lógica, así que no debe aspecto preocupante para alguien que busca los principios lógicos!

Ahora nos puedes seguir a través de una secuencia de tales definiciones hasta llegar a una sentencia, aún en el más puro lenguaje de segundo orden de la lógica, que formula CH. A continuación, con un poco más de trabajo que podemos seguir para construir una frase que expresa la GCH. Más detalles se enumeran en Shapiro.

Sin embargo, como Asaf acertadamente señala a continuación, una cosa es decir que una declaración puede ser formulado en el lenguaje de puro de segundo orden, la lógica, y otra cosa es decir que es un principio lógico. Y de hecho, es una buena pregunta lo que realmente significa. Aún así, podemos decir: como Shapiro notas, en una cuenta estándar de la semántica de segundo-orden lógico resulta que CH o NCH (una cierta fórmula natural de la falsedad de la hipótesis continua) debe ser una lógica de la verdad plena de segundo orden de la lógica. Pero aquí está el problema: no sabemos qué!