¿Por qué círculos hiperbólicos en los círculos también euclidiano de medio plano superior?

Question

En pocos lugares que he visto hablando sobre el plano medio superior como un modelo de geometría hiperbólica, se menciona que círculos (en el sentido de un conjunto de puntos equidistantes de un punto dado bajo una determinada métrica) en los sentidos euclidianos e hiperbólicos coinciden - pero th ¡en los centros son diferentes! ¿Hay una buena manera de mostrar esto?

He intentado usar la métrica hiperbólica por el cómputo bruta y probado con algunas propiedades de las transformaciones de Mobius, pero am pegado.

Answer 1

Una manera de mostrar esto es ir a través del modelo de disco de Poincaré. En particular:

• El hiperbólico círculos en el disco de Poincaré modelo centrado en el punto central del disco están claramente la misma que la distancia Euclídea círculos con centro en ese punto.

• Desde las isometrías del disco de Poincaré modelo de transformaciones de Möbius, y desde las transformaciones de Möbius mapa de círculos los círculos, se sigue que la hiperbólica círculos con centro en cualquier punto en el disco de Poincaré se Euclidiana círculos (posiblemente con un centro diferente).

• Por último, ya que hay una transformación de Möbius que asigna el disco de Poincaré modelo isométrico a la mitad superior del plano modelo, se deduce que el mismo tiene para la mitad superior del modelo de avión.