Suponga que$f$ es una función con valores reales tal que su segunda derivada es discontinua. ¿Puede dar algún ejemplo?

Question

En una entrevista, alguien me hizo la siguiente pregunta, pero no pude dar la respuesta.
Supongamos que$f$ es una función con valores reales tal que su segunda derivada es discontinua. ¿Puedes dar un ejemplo?

Answer 1

Las respuestas hasta el momento de dar funciones diferenciables que no tiene una segunda derivada en algún momento. Si desea segunda derivada existe en todas partes y ser discontinuo en algún lugar, se puede utilizar la siguiente función:

$$f(x) = \int_0^x t^2 \sin(\frac1t)\ dt$$

Su primera derivada es $x \mapsto x^2 \sin(\frac1x)$, que es diferenciable en todas partes, y mientras sus derivados (y, por tanto, la derivada segunda de $f$) es definido en todas partes, es discontinua en a $0$. Por lo tanto, $f$, $f'$ y $f''$ se definen en todas partes, y $f''$ es discontinua en a $0$.

Answer 2

Empezar al revés: tomar alguna función que es discontinua, digamos una función escalón típica: f''(x) $$=\begin{cases} 1 & x \le 0 \ 2 & x > 0 \end{casos}$$ integrar dos veces.

Answer 3

Cuenta con la función $f(x) = x^{3/2}$ $f^\prime(x) = (3/2) x^{1/2}$ y $f^{\prime\prime}(x) = \frac{(3/4)}{x^{1/2}}$ que es discontinua.