La otra dirección de esta implicación es bastante obvia, pero me está costando ver por qué esta dirección podría ser cierta. Sospecho que no es así, pero parte de mi sospecha proviene de mi incapacidad para preparar una prueba que demuestre lo contrario y que no es una guía particularmente confiable para la verdad. Cualquier ayuda es bienvenida.
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DanV
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La problemática es que, si $\kappa$ es singular, no puede ser cualquier definible de primer orden de la función de testigos de este. Así que la única forma de encontrarla es esencialmente sólo a tomar todo el poder conjunto de $V_\kappa$, y la esperanza de encontrar una breve cofinal secuencia.
Si, sin embargo, se sustituye el esquema de Sustitución por la de segundo orden, instrucción "Para cada función de $F$$V_\kappa$, y cada una de las $x$, el rango de $F\restriction x$ es un conjunto en $V_\kappa$", entonces será cierto que $\kappa$ es inaccesible. Este es un viejo teorema de Zermelo, y es muy evidente también ahora:
Si $\kappa$ es no inaccesible, a continuación, tomar una función $F\colon\operatorname{cf}(\kappa)\to\kappa$ testigos de este; se extienden a ser $0$ en otros lugares en $V_\kappa$. Ahora usted tiene una función de $F$ y teniendo en $x=\operatorname{cf}(\kappa)$ le da algo en que $\operatorname{rng}(F\restriction x)\notin V_\kappa$.
