Demostrando ciclotómicas 20 de campo tiene clase número uno.

Question

(Esto está relacionado con uno de mis anteriores preguntas; la lectura no es necesario)

Todavía estoy golpeando mi cabeza en el siguiente ejercicio.

Considere la posibilidad de la primitiva $n$-ésima raíz de la unidad $\zeta_{n} := exp(\frac{2\pi i}{n})$. Demostrar que el campo de número de $K := \mathbb{Q}(\zeta_{20})$ tiene clase número uno.

En el ejercicio, la siguiente sugerencia:

Mostrar que no es suficiente para mostrar que cualquier otro primer ideal por encima de los números primos $2,3,5,7,11$ es la directora. Sabemos que la cuadrática subcampos de $\mathbb{Q}(\zeta_{20})$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, $\mathbb{Q}(i)$. El primer 2 pueden ser tratadas a través de $\mathbb{Q}(i)$. Para el 3 y 7, se observa que la $\omega_1^2 + \omega_2^2 = 3$ $\omega_1^4 + \omega_2^4 = 7$ donde$\omega_1 := (1+\sqrt{5})/2$$\omega_2 := (1-\sqrt{5})/2$. Para 5 muestran que la norma de$\mathbb{Q}(\zeta_{20})$$\mathbb{Q}(\zeta_{5})$$(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})+\zeta_5^2\cdot i$$1-\zeta_5$. Para las 11, en primer lugar determinar sus factores primos en $\mathbb{Q}(\zeta_5)$.

Lo que he logrado hasta ahora:

Me han demostrado a través de Minkowski-bound que es suficiente para mostrar que cualquier otro primer ideal por encima de los números primos $2,3,5,7,11$ es la directora.
También me las arreglé para demostrar que cualquier primer ideal por encima de $2$ o $11$ debe ser principal.

Por lo que sigue siendo para mostrar que para los números primos $3,5,7$, obviamente el uso de las sugerencias anteriores. Sin embargo, yo realmente no parecen llegar al punto donde las sugerencias de sentido para mí.

Si ayuda, yo también se calcula la inercia de la descomposición de los campos: Dado un número primo $p$, vamos a $r$ denotar el número del primer ideales de $\mathbb{Z}[\zeta_{20}]$ sobre $p$. A continuación, vamos a $e$ índice de ramificación y $f$ el grado de inercia. Para los números primos $3,5,7$ obtener:

• Prime 3: $r=2, e=1, f=4$. La descomposición de campo = $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, inercia de campo = $K$
• El primer 5: $r=2, e=4, f=1$. La descomposición de campo = inercia de campo = $\mathbb{Q}(i)$
• El primer 7: $r=2, e=1, f=1$. La descomposición de campo = $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, inercia de campo = $K$

Gracias por la ayuda de antemano, realmente me gustaría cerrar este capítulo.

Answer 1

Para el primer 3 usted tiene que $3=w_1^2+w_2^2=(w_1+iw_2)(w_1-iw_2)$ cuando la descomposición es algebraica de los números enteros (desde $i,w_1,w_2\in\mathcal{O}_K$), por lo que como ideales que tienen la descomposición $<3>=<w_1+iw_2><w_1-iw_2>$ (debido a que son conjugadas, ninguno de ellos puede ser $\mathcal{O}_K$, desde entonces, tendrás que 3 es una unidad integral). La factorización de $<3>$ para el primer ideales será el producto de la factorizations de $<w_1\pm iw_2>$. Ya que calcula que sólo hay 2 primer ideales más de 3, entonces este debe ser el de la descomposición y estos ideales son principales. Para $p=7$ usted puede hacer un proceso similar al notar que a $w_1^4+w_2^4=(w_1^2+iw_2^2)(w_1^2-iw_2^2)$.

Para $p=5$, tenga en cuenta que $\prod_1^4(1-\zeta_5^i)=5$ es la norma de la $(1-\zeta_5)$$\mathbb{Q}[\zeta_5]$$\mathbb{Q}$. Por lo tanto, la sugerencia de que en la pregunta se puede conseguir que la $5=Norm((\zeta_5 + \zeta_5^{-1})+\zeta_5\cdot i)$. De ello se desprende que cada uno de los conjugados de la $(\zeta_5 + \zeta_5^{-1})+\zeta_5\cdot i$ no es invertible (norma no $\pm 1$), por lo que obtener una descomposición de la $<5>$ a no trivial 8 principales ideales, de modo que cada uno de ellos debe ser un primo.