Propiedades de Bernoulli Map

Question

Me estoy refiriendo a la función declaró aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Dyadic_transformation

Este mapa se define en $[0,1]$ $f_n(x)=nx [mod 1]$

Hay tres cosas que no acabo de entender, puede que usted me puede ayudar con eso.Permite strt con el bien conocido caso de $n=2$, yo.e $f_2(x)=2x [mod 1]$, esto significa que si tenemos en cuenta la parte fraccionaria de un cierto valor en cada paso que mover la coma un paso a la derecha. Un ejemplo de un 2-ciclo se $\{1/3,2/3\}$

Mi primera pregunta: ¿Cómo puedo encontrar todos los 3-ciclos de $f_2$ sin simplemente adivinar los números?

Mi segunda pregunta: ¿Qué $f_3$ significa? Es simplemente la representación de los números con la base 3?

Mi tercera pregunta (no tengo idea sobre eso): ¿tienes una idea para una órbita periódica de los Bernoulli mapa que es denso en $[0,1)$?

Answer 1

Supongamos que $x = \sum_{k = 1}^{\infty} d_k / 2^k$ es la de expansión diádica ($d_k \in \{0,1\}$) del punto de $x \in [0,1)$, y asume así que el diádica de expansión es único.

A continuación, $f_2(x)$ tendrá la (única; uno debe comprobar!) diádico de expansión $$ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{d{k + 1}}{2^k} $$ Dicho de otra manera, $f_2$ actúa como el giro a la izquierda del operador en el espacio de secuencias de $(d_k)_k$ de 0's y 1's.

1ª Pregunta: ¿Qué es un 3-ciclo? Bueno, si $x$ tiene un único diádica de expansión y pasa a ser un 3-ciclo de $f_2$, entonces, ¿qué puedes decir acerca de su expansión $d_1, d_2, \cdots$? Desde $f_2^3 x = x$, debe de tener ese $d_{k + 3} = d_k$!

2ª Pregunta: $f_3$ va a ser el mismo tipo de cambio, excepto que se refiere al cambio de la base 3 de la expansión en lugar de la base 2 de la expansión.

3ª Pregunta: Hay ciertamente una órbita! La idea es construir $x$, de modo que para cualquier fijo de la secuencia inicial $d_1', \cdots, d_q'$ de cualquier longitud y cualquier $N$ grandes, hay un $n > N$ de manera tal que el diádica de expansión de $f_2^n x$ está de acuerdo con $d_1', \cdots, d_q'$ $q$- ésimo lugar. Puede usted ver por qué un punto debe tener una densa órbita? ¿Cómo podría construir una $x$?

Otra cosa: ¿y el único expansiones? Cuando sucede esto, y qué es lo que la dinámica de la $f_2$ vería en ellos? Sugerencia: piense en $.9999 = 1.0$ en base 10; ¿cuál es la analógica en la base 2?