No logarithmn de foliaciones

Question

No existe un % de foliaciones $f: \mathbb C\setminus0 \rightarrow \mathbb C\setminus 0 $, así que el $e^{f(z)} = z $ % todo $z \in \mathbb C \setminus 0 $

He intentado trabajar con el derivado de f (z) pero no capaces de conseguir cualquier cosa fuera de él.

Answer 1

Asumir $f$ existe. Por la regla de la cadena, tenemos $$ f'(z)e^{f(z)} = 1 $ así $ f'(z)=\frac{1}{e^{f(z)}} = \frac {1} {z} $$ % Let $\gamma$ser el círculo de la unidad: $\gamma(t)=e^{it}$, $t\in[0,2\pi]$. Entonces $$ 0 = \int\gamma f'(z) \,dz=\int\gamma\frac {1} {z} \,dz = \int_0^{2\pi}\frac{1}{e^{it}}ie^{it}\,dt=2\pi i $$ una clara contradicción.

Answer 2

Aquí está otra prueba: escriba $f=u+iv.$ luego

$$\ln |z| = \ln |e^{f(z)}| = \ln e^{u(z)} = u(z), \,z\ne 0.$$

Que $\log z$ denotan el logaritmo principal valor en $U=\mathbb C \setminus (-\infty,0].$ y $\text { Re }(f(z) - \log z) \equiv 0$ $U.$ pero una función analítica en $U$ que es puramente imaginario es constante. Así es constante en $f(z) - \log z$ que implica discontinuidades a lo largo de contradicition de $U,$ cuenta con $f(z)$ $(-\infty,0],$.