Álgebras Lie de campos vectoriales sobre $\mathbb{R}$ y sobre $S^1$

Question

Un ejercicio del libro "Moonshine beyond the Monster" me tiene perplejo. Se pregunta si las álgebras de Lie reales de campos vectoriales suaves sobre los reales $V(\mathbb{R})$ y sobre el círculo $V(S^1)$ son isomorfas o no.

Las dos son isomorfas como espacios vectoriales reales asumiendo el axioma de elección, pero no deberían ser isomorfas como álgebras de Lie: sé que el álgebra de Lie determina la topología de una variedad y las dos variedades subyacentes no son homeomorfas.

Elegir coordenadas $\theta$ y $t$ en $S^1$ y $\mathbb{R}$ respectivamente para escribir los elementos típicos de las álgebras correspondientes como $\phi(\theta)\frac{d}{d\theta}$ y $f(t)\frac{d}{dt}$ respectivamente con coeficientes suaves.

Mi primera pregunta es: ¿el mapa que lleva $\phi(\theta)\frac{d}{d\theta}$ a $\phi(t)\frac{d}{dt}$ (vista como una función periódica sobre los reales) un mapa bien definido entre las álgebras? Si es así, me parece que esto incrusta el álgebra de Lie $V(S^1)\hookrightarrow V(\mathbb{R})$ .

Mi segunda pregunta es, ¿cómo podemos demostrar que las álgebras no son isomorfas? Intenté construir alguna relación que implicara paréntesis y que se mantuviera en $V(\mathbb{R})$ pero no $V(S^1)$ pero sin éxito. Pensaba que tenía que forzar la falta de periodicidad para todas las soluciones de alguna ecuación diferencial dada únicamente en términos del soporte, pero hasta ahora no lo he conseguido: cada relación que pruebo se satisface en $V(S^1)$ también. ¿Estoy completamente equivocado? Si es así, por favor, dame una pista para acercarme. Si no es así, por favor sugiera una relación que pueda hacer el truco.

Algo más de información: la sección del libro que contiene el ejercicio menciona la subálgebra de Witt de la complejización de $V(S^1)$ pero a menos que la respuesta a mi primera pregunta sea "no", no veo cómo se pueden utilizar las relaciones allí para obtener una contradicción en $V(\mathbb{R})$ .

Answer 1

Un problema intrigante. He aquí una prueba bastante ad hoc de que no son isomorfos. Podría haber una manera más fácil de hacerlo, pero este argumento tiene la ventaja de que no utiliza ninguna teoría sofisticada de álgebras de Lie de dimensión infinita o grupos de Lie.

Tenga en cuenta que $V(\mathbb R)$ contiene un elemento $X$ tal que el mapa $\operatorname{ad}_X\colon V(\mathbb R)\to V(\mathbb R)$ es suryectiva (donde $\operatorname{ad}_X(Y) = [X,Y]$ ): Por ejemplo, $X=d/dt$ es un elemento de este tipo, porque dado cualquier campo vectorial $Z = w(t)d/dt$ podemos dejar que $Y = W(t)d/dt$ donde $W$ es una antiderivada de $w$ y luego $[X,Y]=Z$ .

Supongamos $V(\mathbb R)$ y $V(S^1)$ son isomorfas. Entonces el isomorfismo lleva $X$ a algún elemento $\overline X\in V(S^1)$ tal que $\operatorname{ad}_{\overline X}\colon V(S^1)\to V(S^1)$ es suryectiva. Podemos escribir $\overline X = f\,d/d\theta$ para algunos suaves $2\pi$ -función periódica $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ . Para cualquier campo vectorial $u\,d/d\theta\in V(S^1)$ , $[\overline X,u\,d/d\theta] = (fu'-uf')d/d\theta$ por lo que concluimos que para cualquier $2\pi$ -función periódica suave $h$ hay un $2\pi$ -función periódica suave $u$ tal que $fu'-uf'=h$ .

Primera toma $h\equiv 1$ por lo que existe un $u$ satisfaciendo $fu'-uf'=1$ . En cualquier $\theta_0$ donde $f(\theta_0)=0$ esta ecuación implica $f'(\theta_0)\ne 0$ .

Siguiente toma $h=f$ así que hay algo de $v$ satisfaciendo $$fv'-vf'=f.$$
Diferenciando con respecto a $\theta$ produce $$fv''-vf''=f',$$
desde el $f'v'$ términos cancelar. Si hay alguna $\theta_0$ donde $f(\theta_0)=0$ la primera ecuación implica $v(\theta_0)=0$ también, pero entonces la segunda ecuación implica $f'(\theta_0)=0$ contradiciendo el resultado del párrafo anterior. Por lo tanto $f$ nunca desaparece.

Por último, toma $h=f^2$ así que hay algo de $w$ satisfaciendo $$fw'-wf'=f^2.$$
Porque $f$ nunca desaparece y ambos $f$ y $w$ son periódicos, el teorema fundamental del cálculo da \begin{align*} 0 &= \left.\frac{w}{f}\right|_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{w}{f}\right)\,d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{f w'- wf'}{f^2}\,d\theta =\int_0^{2\pi} 1\,d\theta =2\pi, \end{align*} lo cual es una contradicción.