Pruebalo: $\cos(x) -1 < -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

Question

<blockquote> <p>Demostrar que:</p> <p>$$\cos(x) -1 < -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$$ for $x # \ne 0$</p> </blockquote> <p>Necesito comprobarlo aplicando el teorema de valor medio de Cauchy.</p> <p>Lo que hice:</p> <p>$f(x) = \cos(x) -1$</p> <p>$$g(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$$</p> <p>Si puedo mostrar:</p> <p>$\frac{f(x)}{g(x)}\lt 1$ que la desigualdad original</p> <p>por lo tanto,</p> <p>\lt c $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$ for $0\lt x$</p> <p>$$\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{-\sin(c)}{-c + \frac{c^3}{6}}$$</p> <p>Mi problema es que el siguiente expresión no siempre es menos entonces 1! (por ejemplo $c=2.4$)</p> <p>¿Lo que estoy haciendo mal?</p>

Answer 1

Creo que será más fácil demostrar que: $$ \cos x - 1 + \frac{x^2}2

Definir $f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}2$, $g(x) = \frac{x^4}{24}$. Ahora usando el MVT Cauchy: $$ \frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)} = \frac{6(c-\sin c)}{c^3} $ $

Ahora solo muestran que $ h(x) = \frac{6(x-\sin x)}{x^3} $ está delimitado por encima de encarcelarlas por $1$, y usted conseguirá lo que usted necesita.