¿Si $f$ y $f''$ cuadrado integrable es $f'$?

Question

Que $f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ ser dos veces diferenciable. Que $\int_{0}^{\infty}f(x)^{2}dx

$$\int_{0}^{\infty}f'(x)^{2}dx

Yo estoy muy confundido sobre este problema. Lo he intentado la integración por las piezas pero no meterse en cualquier lugar. Un toque corto sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Si $f$ $f''$ son de cuadrado integrable, entonces, por la de Cauchy-Schwarz desigualdad, $ff''$ es integrable en a $\mathbb{R}$. Así, el límite de la siguiente existe como $x\rightarrow\infty$: $$ \int_{0}^{x}f(t)f"(t)\,dt = f(x)f'(x)-f(0)f'(0)-\int_{0}^{x}f'(t)^{2}dt. $$ Si $f'$ no es cuadrado integrable, entonces $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)f'(x)=+\infty$ debido a que el lado izquierdo de la anterior es limitado y $\lim_{x\rightarrow\infty}\int_{0}^{x}f'(t)^{2}dt=\infty$. Eso significa que, para cualquier $M > 0$ existe $R > 0$ tal que $f(x)f'(x) > M$ siempre $x > R$. Pero eso significa que $(f^{2})' > M/2$ todos los $x > R$, lo que claramente contradice el hecho de que $f$ es de cuadrado integrable. Por lo $f'$ debe ser cuadrado integrable.

Answer 2

¿Considerar $$\int_0^N f^\prime(x)^2 d x.$ $ integrar por partes, para obtener: $$f(N) f^\prime(N) - f(0) f^\prime(0) - \int_0^N f(x) f^{\prime \prime}(x) dx.$$ Now note that the last integral can be bounded by Cauchy-Schwarz, so the only thing you need to bound is $f(N) f^\prime(N). $ se puede?

Answer 3

Un pesado dio respuesta: sea la transformada de Fourier de $f$ $g,$ entonces el Fourier transforma de $f^\prime$ $s g,$ y la transformada de Fourier de $f^{\prime\prime}$ $s^2 g.$ es una función en $L^2$ si y sólo si su transformada de Fourier es. Pero tenga en cuenta que la transformada de Fourier de $f^\prime$ predomina en $\pm \infty$ y que $f^{\prime \prime}$ y $0$ por el de $f,$ así debe ser en $L^2$ (ya que son los otros dos).