¿Por qué ' t esta operación funciona?

Question

En mi clase de matemáticas estamos aprendiendo acerca de las integrales indefinidas, este es el problema que hemos trabajado:

$$ \int \frac{1}{2x+1}dx $$

Con u-sustitución obtenemos:

$$ \frac{1}{2}\ln\left | 2x+1 \right | + C $$

Pero ¿por qué no trabajar para sacar un $\frac{1}{2}$, de modo que no tenemos que hacer u-sustitución

$$ \frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\frac{1}{2}}dx $$

Esto produce una completamente diferente resultado $$ \frac{1}{2}\ln \left |x+\frac{1}{2}\right | + C_1 \neq \frac{1}{2}\ln\left | 2x+1 \right | + C_2 $$

Tirando de la $\frac{1}{2}$ parece completamente válido mover, así que ¿por qué no podría ser completamente diferente resultado?

Answer 1

Son iguales porque % $ $$\ln|2x+1|=\ln|2(x+1/2)|=\ln(2)+\ln|x+1/2|$y el constante $\ln(2)$ va con el constante $C$.