Considere$Z_{n} = \frac{X_{n}^{2}}{\log(1+X_{n}^{2})}$, en el que$X_n$ denota una variable aleatoria gaussiana con valor esperado cero y varianza igual a$1/n$. Ahora queremos encontrar$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E} \frac{X_{n}^{2}}{\log(1+X_{n}^{2})}$. Pensé en encontrar la función característica de$Z_{n}$ y así será fácil encontrar expectativa. Pero creo que debería haber un enfoque más fácil. Algunas ideas ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que podría ser roto por el real método de análisis. Para la comodidad nota:$X_n$$f_n$. A continuación,$EX_n^2=\int f_n^2dP=1/n$, e $f_n\overset{P}{\to}0$.
Para $\delta>0$, $$M(\delta)=\sup_{|x|\leq\delta}\frac{x^2}{\log(1+x^2)}$$ $$m(\delta)=\inf_{|x|\leq\delta}\frac{x^2}{\log(1+x^2)}$$ Tenga en cuenta que $$\lim_{\delta\to0}M(\delta)=\lim_{\delta\to0}m(\delta)=1$$
Estimamos que esta fórmula por separado \begin{eqnarray} \int\frac{f_n^2}{\log(1+f_n^2)}dP&=&\int_{\{|f_n|\leq\delta\}}\frac{f_n^2}{\log(1+f_n^2)}dP+\int_{\{|f_n|>\delta\}}\frac{f_n^2}{\log(1+f_n^2)}dP \end{eqnarray}
Fix$\delta$$n\to\infty$, para el límite superior $$\leq P\{|f_n|\leq\delta\}M(\delta)+\frac{1}{\log(1+\delta^2)}\frac{1}{n} \M(\delta)$$ para el límite inferior $$\geq P\{|f_n|\leq\delta\}m(\delta) \m(\delta)$$
Deje $\delta\to 0$, por lo que hemos demostrado $$\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}\frac{X_n^2}{\log(1+X_n^2)}=1.$$
Por el camino, en realidad no necesitamos $X_n$ a ser de Gauss r.v.
psychotik
Puntos
171
La función$f(x) = \frac{x}{\log(1+x)} = \int_{0}^{1} (1+x)^s \, ds $ es cóncava y aumenta en$[0,\infty)$. Asi que
ps
La conclusión se deduce del teorema de compresión al notar que$$ f(0) \leq \mathbf{E}\left[ \frac{X_n^2}{\log(1+X_n^2)} \right] = \mathbf{E}[f(X_n^2)] \stackrel{\text{(Jensen)}}{\leq} f(\mathbf{E}[X_n^2]). $ como$\mathbf{E}[X_n^2] = \frac{1}{n} \to 0$.
Shalop
Puntos
4722
Hay una prueba más simple que el límite es $1$ si utilizas Gaussianidad de $X_n$.
Wlog así puede asumir que un $X_n = n^{-1/2}Y$, donde $Y \sim N(0,1)$, ya que esto no cambia la expectativa.
Ahora, desde $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\log(1+u)}=1$, se deduce que $Z_n = \frac{n^{-1}Y^2}{\log(1+n^{-1}Y^2)} \to 1$ a.s.
Ahora, si podemos demostrar que $\sup_n Z_n$ está limitado anteriormente por un r.v. integrable, entonces hemos terminado ya que solo podemos aplicar dto. Para comprobar esto, sólo tenga en cuenta que $\frac{u}{\log(1+u)} \leq 1+u$, así que el $Z_n \leq 1+n^{-1}Y^2 \leq 1+Y^2$.
