No estoy seguro de que el teorema de que usted cita, pero aquí está mi entendimiento (disculpas a los Mods si esto es visto no como una respuesta a la OP).
Deje $(M^n, g)$ ser de Riemann colector y $T^2$ un toro. Deje $b_1$ ser el primer número de Betti de nuestro colector $M$. El uso de un integrante de la base de
armónico 1-formas en las que podemos definir, a través de la integración, la Jacobi mapa de $\pi$; este a su vez le da un mapa en un 'toro'$T^{b_1}$, en el que ponemos la costumbre plana métrica.
En nuestro caso, como todos los armónicos $1$-formularios de longitud constante, se nos permite elegir este día para ser pointwise ortonormales. Por lo tanto, $\pi$ es una de Riemann de la inmersión y además debemos tener $b_1 \leq n$.
La proposición
Deje $(M^n, g)$ ser un equipo compacto de Riemann colector y $b_1$ ser su primer
Betti número. A continuación, todos los armónicos $1$-formularios de longitud constante si y sólo si
$(M^n, g)$ es localmente trivial de fibra de lote, con un mínimo de fibras, a través de una $b_1$-dimensiones plana toro y tal que $b_1 \leq n$. Por otra parte en virtud de la secuencia
$$F^{n-b_1} \hookrightarrow M^n \xrightarrow{\pi}T^{b_1}$$
podemos ver que si $b_1 = n$, $\pi$ es una de Riemann isometría y, por tanto, $(M^n, g)$ es un plano de toro.
