Intuición detrás del residuo en el infinito

Question

El residuo en el infinito viene dado por:

$$\underset{z_0=\infty}{\operatorname{Res}}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_0} f(z)dz$$

Dónde $f$ es una función analítica excepto en un número finito de puntos singulares y $C_0$ es un contorno cerrado por lo que todos los puntos singulares se encuentran dentro de él.

Se puede demostrar que el residuo en el infinito se puede calcular calculando el residuo en el cero.

$$\underset{z_0=\infty}{\operatorname{Res}}f(z)=\underset{z_0=0}{\operatorname{Res}}\frac{-1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)$$

La prueba es sólo para ampliar $-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)$ como una serie de Laurent y ver que el $1/z$ es la integral mencionada.

Puedo ver que cambiamos $f(z)$ a $f(1/z)$ por lo que la variable tiende a infinito.

Pero, ¿hay alguna razón intuitiva de por qué introducimos el $-1/z^2$ ¿factor?

Answer 1

La cuestión es que funciones no tienen residuos, sino que diferenciales tienen residuos. Esto es algo que puede resultar bastante confuso en una primera clase de análisis complejo. El "residuo de una función" no es invariable bajo un cambio de parámetro local, pero el residuo de una diferencial sí lo es. Por esta razón, lo que se suele llamar el "residuo en $0$ de $f(z)$ " es en realidad el residuo en $0$ de $f(z)dz$ .

Cuando se cambia la coordenada de $z$ a $w=1/z$ el diferencial $dz$ se transforma en $-dw/w^2$ que explica el cambio de signo y el factor adicional. Por lo tanto,

$$f(z)dz = \frac{-1}{w^2} f(1/w) dw.$$

El "residuo de $f$ en $\infty$ " es el residuo en $0$ de $\frac{-1}{w^2} f(1/w) dw$ .

Answer 2

$-1/z^2$ viene de cambiar la variable de $z$ a $u=1/z$ .

Así que $$\int_{C_0} f(z)dz=\int_{C'} f(1/u)d(1/u)=-\int_{C'}\frac{-1}{u^2}f(1/u)du$$

donde $C'$ es el rastro de $C_0$ en el $u$ espacio. Si toda la singularidad se encuentra dentro de $C_0$ en el $z$ espacio, entonces cada singularidad (excepto la de $u=0$ ) de $-(1/u^2)f(1/u)$ quedaría fuera de la $C'$ en el $u$ espacio.

Desde $u=0$ es el único punto singular de $-(1/u^2)f(1/u)$ dentro de $C'$ por lo que esta integral da el residuo en $u=0$ , o de forma equivalente, $z=\infty$ .