¿Por qué los generadores de potenciadores se transforman como un vector en rotación?

Question

$$\left[J_i,J_j \right]=i\epsilon_{ijk}J_k$ $$$\left[J_i,M_j \right]=i\epsilon_{ijk}M_k$ $$$\left[M_i,M_j \right]=-i\epsilon_{ijk}J_k$ $ donde$J_i$ es el generador de rotación del grupo Lorentz,$M_i$ es el generador de impulso del grupo Lorentz

En muchos libros de texto de QFT, dicen que el segundo implica que los generadores de los impulsos se transforman como un vector bajo rotaciones. Pero no puedo verlo explícitamente. ¿Alguien puede darme la explicación?

Answer 1

Vectores de transformación lineal,\begin{equation} x i \rightarrow A { ij } x _j \end{equation} a través de un % de la matriz de transformación $A$.

Consideremos ahora la transformación de $ M _i $:\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = \left( 1 + i \theta _j J _j - ... \right) M _i \left( 1 - i \theta _j J _j - ... \right) \ & = M _i + i \theta _j \left[ J _j , M _i \right] + ... \end {Alinee el} ahora si sólo es proporcional al $ \left[ J _j , M _i \right] $ arriba entonces infinitamente,\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = M _i + i \theta j \epsilon { jik} M k \ &= (\delta{ik}+i\thetaj\epsilon{jik})Mk\ &= A {i,j}M _j \end$ M _j $ {align} para un % de la matriz de transformación $A$como sea necesario.

Answer 2

El hecho importante es que el cambio de un objeto $O$ bajo un infinitesimal de la transformación generada por un generador de $G$ puede ser escrito en términos de su conmutador (infinitesimal parámetro $\alpha$):

$$O\longrightarrow O + \delta O\enspace\,\,\text{where}\enspace\,\, \delta O = i\alpha [G,\,O]$$

(para probar esto, a ver JeffDror la respuesta). Para interpretar su primer colector $[J_i, J_j] = i\epsilon_{ijk} J_k$, poner el objeto $O=J_j$ y generador de $G=J_i$, y el resultado en el lado derecho es $\delta J = i\alpha_j\epsilon_{ijk}\,J_i$ indica cómo el objeto de $J$ transforma bajo la acción del generador de $J$. Esto define un vector. De manera más general, hemos aprendido $$\delta O = i\alpha_j\epsilon_{ijk}O_k\qquad\text{under $J_i$}$$ es como un vector $O$ transforma bajo la acción de $J$. A partir de ahora, cualquier $O$ satisfactorio que el de arriba es un vector.

Ahora pasar a la siguiente colector $[J_i, M_j] = i\epsilon_{ijk} M_k$. Para interpretar esto, identificamos $M$ como nuestro objeto y $J$ como el generador. El resultado en el lado derecho $\delta M_i = i\alpha_j \epsilon_{ijk}M_k$ le dice que $M$ transforma precisamente en la misma forma que un vector de cambios.