¿Por qué puede ' t separar poderes fracción en euler ' fórmula de s?

Question

Estoy seguro que hay algo que estoy haciendo mal pero solo quiero alguien para que apunte a mi.

Por qué no podemos decir que $e^{\frac {\pi i}{3}} = \left(e^{\pi i}\right)^{\frac {1}{3}} = (-1)^{\frac {1}{3}} = -1$ por qué tenemos que calcular por la fórmula como es (que produce valor diferente)

Otra pregunta es por qué no podemos decir que $ (-1)^{\frac {1}{2}} = \left(\left (-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}} = 1^{\frac {1}{4}} = 1$

Otra vez tengo que decir que sé que esto está todo mal que solo quiero saber por qué está mal

Answer 1

Es simplemente el caso de que $(a^b)^c$ no es siempre igual a $a^{bc}$ si $a$ no es positiva o si $b$ y/o $c$ son complejos.

Los problemas son que

$$x=(-1)^{1/2}\implies x^2=-1\implies x^4=1$$

Sin embargo, cuando usted dice que $1^{1/4}=1$, se puede producir un error de concepto. Generalmente, esto está perfectamente bien, pero cuando se piensa en ello, ¿por qué no $1^{1/4}=-1$? De hecho, ambos valores son soluciones de la ecuación de $x^4=1$, pero ninguno es igual a $(-1)^{1/2}$. Sin embargo, después de factoring, se podía ver que

$$x^4=1\implies x^4-1=0\implies(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)=0$$

Uno de estos es la solución correcta en nuestro contexto, a pesar de que le sucede a elegir el mal.

Del mismo modo, el estado que $(-1)^{1/3}=-1$, pero

$$x^3=-1\implies x^3+1=0\implies(x+1)(x^2-x+1)=0$$

Y $x=e^{\pi i/3}$ es una posible solución. Si desea obtener más información, por favor consulte el enlace de arriba.

Answer 2

Las leyes que aprender por competencias se aplican a los números reales positivos, no se aplican cuando usted comienza a tomar raíces de números negativos.

La prueba de que $ (-1)^{\frac {1}{2}}=1$ obviamente plantea alarma. Como Ross menciona en los comentarios esto está relacionado con las funciones de varios valores.

Una similar falsa prueba utilizando varios valores de las funciones es $\sqrt{1}=1$ pero $\sqrt{1}=-1$. Por lo tanto,$1=-1$.

Porque hemos permitido que la raíz cuadrada a tiene dos resultados que dan como resultado la $1=-1$. Normalmente la raíz cuadrada se define a ser siempre positivo para evitar este problema. Sin embargo, si permitimos que para varios valores, a continuación, tenemos que recordar que $\sqrt{a}=b$ $\sqrt{a}=c$ no implica que se $b=\sqrt{a}=c$. Permitir varios valores de las funciones de existir significa que hemos perdido la propiedad de la igualdad.