Que $X,Y\sim \mathcal{N}(0,1)$. Que $Z=\max(X,Y)$. Encontrar $EZ$.

Question

Que variables independientes aleatorias del $X,Y$ $X,Y\sim \mathcal{N}(0,1)$. Que $Z=\max(X,Y)$. Demostró ya que basta de que $F_Z$ $Z$ $F_Z(z)=F(z)^2$.

Ahora necesito encontrar $EZ$.

¿Debo empezar como esta? $$EZ=\int{-\infty}^{\infty}\int{-\infty}^\infty \max(x,y)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-1/2x^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-1/2y^2} dxdy$$

Answer 1

Para volver a $Z$ como una función de la $(X,Y)$ una vez que se ha determinado $F_Z$ es contraproducente. Más bien, se podría calcular la densidad de $f_Z$ como la derivada de la $F_Z=\Phi^2$, $f_Z=2\varphi\Phi$ donde $\Phi$ es el estándar normal de CDF y su derivado $\varphi$ es el estándar PDF normal, y el uso de $$ \mathbb E(Z)=\int zf_Z(z)\mathrm dz=\int 2z\varphi(z)\Phi(z)\mathrm dz. $$ Desde $z\varphi(z)=-\varphi'(z)$$\Phi'=\varphi$, una integración por partes de los rendimientos $$ \mathbb E(Z)=\int2\varphi\cdot\varphi=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int\varphi(\sqrt2z)\mathrm dz=\frac2{\sqrt{2\pi}}\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt{\pi}}. $$

Answer 2

Mientras que el OP pregunta sobre el caso de $X$~N(0,1) y $Y$~N(0,1) independiente, ... el problema más general que los nidos mismo es, por supuesto, $(X,Y)$ ~ standardBivariateNormal, con articulación pdf $f(x,y)$:

La solución general a $E[max(X,Y)]$ ... aquí obtenidos mediante el mathStatica / Mathematica combo ... es simplemente:

Para el caso especial de la independencia, $\rho$ = 0, y la solución se simplifica a $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$.