Igualdad de determinantes $\det(1+AB)=\det(1+BA)$

Question

¿Puede alguien ayudarme con esta identidad?

Nos dan dos matrices $A$ y $B$ . La matriz $A$ es $m\times n$ mientras que $B$ es $n\times m$ matriz. Tenemos que demostrar que

$\det(I+AB) = \det(I + BA)$ donde $I$ es la correspondiente matriz de identidad.

Por favor, utilice pasos elementales para resolver ya que no tengo suficiente conocimiento de las matrices.

He comprobado la página de la identidad del determinante de Sylvester en el intercambio de pilas de matemáticas. Las pruebas estaban fuera de mi alcance. ¿Se puede hacer de una manera más fácil?

Answer 1

Calcularemos $\det\begin{pmatrix} I_m & -A \\ B & I_n \end{pmatrix}$ de dos maneras diferentes. Tenemos $$\det\begin{pmatrix} I_m & -A \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n + BA \end{pmatrix} = \det(I_n + BA).$$ Por otro lado, $$\det\begin{pmatrix} I_m & -A \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} I_m+AB & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_m + AB).$$