Intuición y "prueba" de la repetición del transfinite

Question

Estoy tratando de entender la recursión transfinita. Hasta ahora me he encontrado con dos definiciones diferentes de este teorema (no completamente seguro de si describen el mismo Principio de Recursión Transfinita). La primera de ellas:

Si tengo un mapa $I:X^{<\alpha}\rightarrow X$ ($\alpha$ algunos ordinal aquí "$X^{<\alpha}$" denota el conjunto de mapas de$\beta$$X$, para cualquier $\beta<\alpha$), entonces existe una única función de $f: \alpha\rightarrow X$ tal que para todo $\beta<\alpha$, $f(\beta)=I(f\upharpoonright\beta)$.

Y la segunda:

Sea G ser una operación (En el contexto de la teoría de conjuntos). ¿Significa esto que para algunos fija los parámetros de $u$, si hay alguna, $\forall x\exists!y\phi(u,x,y) \wedge G(x)=y $). Entonces existe una única operación (esta vez fue llamado operacional fórmula o algo así) $F$, de modo que para todos los $Ord(\alpha), F(\alpha)=G(F\restriction \alpha)$.

¿Cómo estos dos teoremas de interactuar el uno con el otro? Algunos simples adicionales intuición acerca de la diferencia entre la recursividad y la recursión transfinita no será pérdida de tiempo.

También el profesor dijo que la recursión transfinita principio es un meta-teorema del esquema. ¿Qué es lógicamente significa?

Answer 1

La segunda implica la primera, pero en el "diario de las matemáticas" rara vez apelación para el segundo caso.

El primer caso simplemente indica que si usted tiene un conjunto ordenado, y algunas de las funciones que le dice "cómo extender" una función definida en algún segmento inicial de la orden, entonces usted puede guardar la ampliación de la función a través de toda la buena ordenación.

Es decir, si $\alpha$ es un ordinal, y $I$ es una regla que dice que si le pasó a tener una función definida en el $\beta<\alpha$, entonces se puede extender esta función a $\beta+1$, entonces existe una única función definida en $\alpha$ de manera tal que cada sucesor paso se define el uso de $I$ "de nuevo y de nuevo y de nuevo".

El segundo teorema habla de la misma cosa, pero con la adecuada clase de todos los ordinales. Esto implica que la primera instancia, ya que siempre se puede dar un valor fijo y, a continuación, volver el mismo valor para el resto de la "ejecución" de la función. Pero el ocuparse de la correcta clases es siempre delicado, ya que no son conjuntos. Cual es la razón por la que su profesor dijo que esta es una meta-teorema de, en lugar de un teorema.

Ya que las clases no son objetos del universo de la teoría de conjuntos, sino más bien objetos de la meta-universo de la meta-lenguaje, se sigue que cualquier clase de función (es decir, una función cuyo dominio es una clase adecuada) no es un objeto en el universo, sino más bien un objeto de la meta-universo. Así formalmente la recursión transfinita es un esquema que indica que siempre que $\varphi$ es una función que define tal y tal clase, entonces podemos escribir una fórmula $\psi$ tal que $\psi$ define una clase de función en los ordinales donde $\varphi$ es utilizado para el paso a través de sucesor pasos.